中国科学院真题 第20066题

五、设 $\alpha_{i}=\left(a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i n}\right)^{\prime}, \quad i=1,2, \ldots, m(\leq n)$ 为 $n$ 维欧氏空间中的 $m$ 个向量．又设 $P=\left(p_{i j}\right)_{1 \leq i, j \leq m}$ 其中 $p_{i j}=\sum_{k=1}^{n} a_{i k} a_{j k}$ 。试证明：$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}$ 为线性无关的，当且仅当 $P$ 为满秩． 证明：由已知条件，$\alpha_{i}=\left(a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i n}\right)^{\prime}, \quad i=1,2, \ldots, m(\leq n)$为 $n$ 维欧氏空间中的 $m$ 个向量。令 $A=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}\right)$ 为以 $\alpha_{i}(i=1,2, \ldots, m)$ 为列向量的矩阵，则 $A$ 为 $m \times n$ 实矩阵，且 $P=A^{\prime} A$（ $A^{\prime}$ 表示 $A$ 的转置矩阵）。 又设 $B=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}, 0, \cdots, 0\right)=(A, O)$ 为 $n$ 阶方阵，则秩 $B=$ 秩 $A$ ，且 $$ B^{\prime} B=\binom{A^{\prime}}{O}\left(\begin{array}{ll} A & O \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} A^{\prime} A & O \\ O & O \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} P & O \\ O & O \end{array}\right) \text { 为 } n \text { 阶方阵, 从而 } $$ 秩 $B^{\prime} B=$ 秩 $P$ 。 以下证明秩 $B^{\prime} B=$ 秩 $B$ ．为此考虑齐次线性方程组 $$ \begin{array}{cc} & B X=O \\ \text { 与 } & B^{\prime} B X=O \tag{2} \end{array} $$ 令 $W_{1}, W_{2}$ 分别表示（1）与（2）的解向量空间，则显然有 $W_{1} \subset W_{2}$ ．另一方面，注意到对任意 $n$ 维实（列）向量 $Y, Y^{\prime} Y=0 \Rightarrow Y=0$ ．我们有 $$ B^{\prime} B X=O \Rightarrow X^{\prime} B^{\prime} B X=O \Rightarrow(B X)^{\prime} B X=O \Rightarrow B X=O \text {. } $$ 所以又有 $W_{2} \subset W_{1}$ 。从而 $W_{1}=W_{2}$ ，维 $W_{1}=$ 维 $W_{2}$ 。 由线性方程组理论可知，秩 $B+$ 维 $W_{1}=n$ ，秩 $B^{\prime} B+$ 维 $W_{2}=n$ ，于是得 秩 $B^{\prime} B=$ 秩 $B$ ． 综上讨论，我们有 秩 $P=$ 秩 $B^{\prime} B=$ 秩 $B=$ 秩 $A$ ． 由此知，$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}$ 线性无关，当且仅当秩 $A=m$ ，当且仅当秩 $P=m$ ，当且仅当 $P$ 为满秩．