中国科学院真题 第20089题
📝 题目
7．（20 分）若 $Q$ 为 $n$ 阶对称正定方阵，$x$ 为 $n$ 维实向量．证明： $0 \leq x^{T}\left(Q+x x^{T}\right)^{-1} x<1$ 。
这里 $x^{T}$ 表示 $x$ 的转置．
💡 答案解析
7．证
令 $A=\left(Q+x x^{T}\right)^{-1}$ ，则
$$
\begin{aligned}
x^{T} Q^{-1} x & =x^{T} A\left(Q+x x^{T}\right) Q^{-1} x=x^{T} A\left(E+x x^{T} Q^{-1}\right) x \\
& =x^{T} A x+x^{T} A x x^{T} Q^{-1} x=x^{T} A x\left(1+x^{T} Q^{-1} x\right)
\end{aligned}
$$
从而，$x^{T} A x=\frac{x^{T} Q^{-1} x}{1+x^{T} Q^{-1} x}$ ．当 $Q$ 为 $n$ 阶对称正定方阵，则 $Q^{-1}$ 也为对称正定矩阵，从而，对任意 $n$ 维实向量 $x$ ，有 $x^{T} Q^{-1} x \geq 0$ ．从而， $0 \leq x^{T}\left(Q+x x^{T}\right)^{-1} x<1$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：1. 令A=(Q+xx^T)^{-1}；2. 计算x^T Q^{-1}x = x^T A (Q+xx^T)Q^{-1}x = x^T A x (1+x^T Q^{-1}x)；3. 得x^T A x = (x^T Q^{-1}x)/(1+x^T Q^{-1}x)；4. 由Q正定得x^T Q^{-1}x≥0，故不等式成立。
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