中国科学院真题 第20112题
📝 题目
4．（20 分）设 $A=\left(a_{i j}\right)$ 是2004阶方阵，且 $a_{i j}=i j, 1 \leq i, j \leq 2004$ 。 $I$ 是2004阶单位阵，计算 $f(x)=\operatorname{det}(I+A x)$ ，这里 $x \in \mathbb{R}$ ．
💡 答案解析
4．解 显然有
$$
\left.f(x)=\left(\begin{array}{cccc}
x+1 & 2 x & & n x \\
2 x & 2^{2} x+1 & & 2 n x \\
\vdots & & \ddots & \vdots \\
n x & \cdots & & n^{2} x+1
\end{array}\right) \right\rvert\,
$$
第一列分别乘以 $-k$ 加到第 $k$ 列，然后第 $i(i \geq 2)$ 行乘以 $i$ 加到第一行上，得
$$
\left|\begin{array}{cccc}
x+1 & -2 & \cdots & -n \\
2 x & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
n x & 0 & \cdots & 1
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}
\left(\sum_{i=1}^{n} i^{2}\right) x+1 & 0 & \cdots & 0 \\
2 x & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
n x & 0 & \cdots & 1
\end{array}\right|=\left(\sum_{i=1}^{n} i^{2}\right) x+1=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：1. 写出n阶行列式，第一列乘以-k加到第k列；2. 将第i行(i≥2)乘以i加到第一行；3. 得到上三角行列式，对角线元素为(∑i^2)x+1和1，得结果。
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