中国科学院真题 第20113题
📝 题目
5．（20 分）令 $f(x, y)=2 x^{2}-7 x y+y^{2}$ ．求 $f(x, y)$ 在 $\mathbb{R}^{2}$ 中单位圆上的极大值与极小值及极值点．
💡 答案解析
5．解 由题意，$f(x, y)$ 的二次型为
$$
A=\left(\begin{array}{cc}
2 & -\frac{7}{2} \\
-\frac{7}{2} & 1
\end{array}\right),
$$
算得其特征根为 $\lambda_{1}=\frac{3-\sqrt{50}}{2}, \lambda_{2}=\frac{3+\sqrt{50}}{2}$ ，
因为 $\lambda_{1} \mathbf{x}^{T} \mathbf{x} \leq \mathbf{x}^{T} A \mathbf{x} \leq \lambda_{2} \mathbf{x}^{T} \mathbf{x}$ ，等号在对应特征向量成立，在单位圆上 $\mathbf{x}^{T} \mathbf{x}=1$ ，故最大值与最小值分别为 $\frac{3+\sqrt{50}}{2} 、 \frac{3-\sqrt{50}}{2}$ ，
$\lambda_{2}=\frac{3+\sqrt{50}}{2}$ 时，特征向量为 $k(-7, \sqrt{50}-1)$ ，与单位圆相交于
$$
\pm\left(\frac{-7}{\sqrt{100-2 \sqrt{50}}}, \frac{\sqrt{50}-1}{\sqrt{100-2 \sqrt{50}}}\right)
$$
此即为极大值点，极大值为 $\frac{3+\sqrt{50}}{2}$ ．同理，$\pm\left(\frac{7}{\sqrt{100+2 \sqrt{50}}}, \frac{\sqrt{50}+1}{\sqrt{100+2 \sqrt{50}}}\right)$ 为极小值点，极小值为 $\frac{3-\sqrt{50}}{2}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：1. 写出二次型矩阵A；2. 求特征值λ1,λ2；3. 在单位圆上，极大值为最大特征值，极小值为最小特征值；4. 求对应单位特征向量得极值点。
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