中国科学院真题 第20114题
📝 题目
6．（20 分）设 $A 、 B$ 是 $n$ 阶实方阵，而 $I$ 是 $n$ 阶单位阵．证明：若 $I-A B$ 可逆，则 $I-B A$也可逆。
💡 答案解析
6．证 由题意，易知：
$$
\begin{aligned}
& \left(\begin{array}{cc}
I & 0 \\
-B & I
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}
I & A \\
B & I
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
I & A \\
0 & I-A B
\end{array}\right) \\
& \left(\begin{array}{cc}
I & -A \\
0 & I
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}
I & A \\
B & I
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
I-A B & 0 \\
B & I
\end{array}\right)
\end{aligned}
$$
分别取行列式知 $|I-B A|=|I-A B|$ ，故，由 $I-A B$ 可逆推出 $I-B A$ 也可逆．
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：1. 构造分块矩阵等式，利用分块初等变换得两个分块矩阵乘积为分块三角阵；2. 取行列式得|I-AB|=|I-BA|；3. 由I-AB可逆推出|I-AB|≠0，故|I-BA|≠0，从而I-BA可逆。
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