中国科学院真题 第20115题
📝 题目
7．（20 分）设 $A$ 为 $n \times n$ 阶实对称矩阵，$b$ 为 $n \times 1$ 维实向量．证明：$A-b b^{T}>0$ 的充分必要条件是
$$
A>0 \text { 及 } b^{T} A^{-1} b<1 \text {. 其中 } b^{T} \text { 表示 } b \text { 的转置. }
$$
💡 答案解析
7．证 由题意：
$$
\begin{gathered}
\left(\begin{array}{cc}
I & -b \\
0 & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
A & b \\
b^{T} & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
I & 0 \\
-b^{T} & 1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
A-b b^{T} & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right) \\
\left(\begin{array}{cc}
I & 0 \\
-b^{T} A^{-1} & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
A & b \\
b^{T} & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
I & -A^{-1} \\
0 & 1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
A & 0 \\
0 & 1-b^{T} A^{-1} b
\end{array}\right)
\end{gathered}
$$
易知，$\left(\begin{array}{cc}A-b b^{T} & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ 与 $\left(\begin{array}{cc}A & 0 \\ 0 & 1-b^{T} A^{-1} b\end{array}\right)$ 合同，从而正定性相同，即当 $A-b b^{T}>0$ 时，有 $A>0$ 及 $b^{T} A^{-1} b<1$ 成立，反过来也成立，故原问题得证．
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：1. 构造分块矩阵[[A,b],[b^T,1]]，通过两次合同变换化为[[A-bb^T,0],[0,1]]和[[A,0],[0,1-b^TA^{-1}b]]；2. 由合同变换保持正定性，得两者正定性等价；3. 从而A-bb^T正定等价于A正定且1-b^TA^{-1}b>0。
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