中国科学院真题 第20116题

8．证 充分性： 设线性变换 $f, g$ 在一组基 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$ 下的矩阵为 $A, B$ ，由 $f$ 有 $n$ 个互异特征根，不妨设为 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$ ，故 $f$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量，故通过基变换，也即存在正交矩阵 $P$ ，使 $P^{-1} A P$ 为对角阵，不妨设在 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$ 下，$A$ 为对角阵， 当 $g=\sum_{i=0}^{n-1} k_{i} f^{i}$ 时，则 $$ B=\sum_{i=0}^{n-1} k_{i} A^{i}=\sum_{i=0}^{n-1}\left(\begin{array}{ccc} k_{i} \lambda_{1}^{i} & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & k_{i} \lambda_{n}^{i} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} \sum_{i=0}^{n-1} k_{i} \lambda_{1}^{i} & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & \sum_{i=0}^{n-1} k_{i} \lambda_{n}^{i} \end{array}\right) $$ 从而，$A B=B A$ ，即 $f g=g f$ ． 必要性：$f g=g f$ ，即 $A B=B A$ ，又因为与对角矩阵可交换的矩阵只能是对角矩阵，故可记 $B=\left(\begin{array}{lll}b_{1} & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & b_{n}\end{array}\right)$ ，显然 $\operatorname{dim}(B)=n$ ，故只须证 $f^{i}, i=0,1, \cdots, n-1$ 线性无关即可。设 $\sum_{i=0}^{n-1} k_{i} f^{i}=0$ ，即 $$ \sum_{i=0}^{n-1} k_{i} A^{i}=\sum_{i=0}^{n-1}\left(\begin{array}{ccc} k_{i} \lambda_{1}^{i} & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & k_{i} \lambda_{n}^{i} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} \sum_{i=0}^{n-1} k_{i} \lambda_{1}^{i} & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & \sum_{i=0}^{n-1} k_{i} \lambda_{n}^{i} \end{array}\right)=0 $$ 而 $\sum_{i=0}^{n-1} k_{i} \lambda_{j}{ }^{i}$ ，对 $j=1,2, \cdots, n$ 成立，而矩阵行列式为范德蒙行列式，且 $\lambda_{j}$ 互异，即不为 0 ，所以 $k_{i}=0$ ，即 $f^{i}, i=0,1, \cdots, n-1$ 线性无关，问题得证．