中国科学院真题 第20126题

1．解（1）据题设，方程组（I）的系数矩阵为 $\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1\end{array}\right)$ ，故（I）的基础解系可取为 $$ \eta_{1}=(-1,0,1,0)^{T}, \eta_{2}=(0,1,0,1)^{T} . $$ （2）有非零公共解．下面给出两种解法： （方法 1）将方程组（II）的通解 $k_{1}(0,1,1,0)^{T}+k_{2}(-1,2,2,1)^{T}$ 代入方程组（I），得 $$ \left\{\begin{array}{l} k_{1}+k_{2}=0 \\ k_{1}+k_{2}=0 \end{array}\right. $$ 解得 $k_{1}=-k_{2}$ 。当 $k_{1}=-k_{2} \neq 0$ 时，非零向量 $$ \begin{gathered} k_{1}(0,1,1,0)^{T}+k_{2}(-1,2,2,1)^{T}=k_{2}[(0,-1,-1,0)+(-1,2,2,1)]^{T} \\ =k_{2}(-1,1,1,1)^{T} \end{gathered} $$ 满足方程组（I）（显然是（II）的解）。故方程组（I）与（II）有非零公共解，所有非零公共解是 $$ k(-1,1,1,1)^{T} \text { (其中 } k \text { 是不为零的任意常数). } $$ （方法 2）令方程组（I）与（II）的通解相等，即 $$ k_{1}(0,1,1,0)^{T}+k_{2}(-1,2,2,1)^{T}=k_{3}(-1,0,1,0)^{T}+k_{4}(0,1,0,1)^{T} $$ 得到关于 $k_{1}, k_{2}, k_{3}, k_{4}$ 的一个齐次线性方程组 $$ \left\{\begin{array}{c} k_{2}-k_{3}=0 \\ k_{1}+2 k_{2}-k_{3}=0 \\ k_{1}+2 k_{2}-k_{4}=0 \\ k_{2}-k_{4}=0 \end{array}\right. $$ 易得其通解为 $\left(k_{1}, k_{2}, k_{3}, k_{4}\right)^{T}=k(-1,1,1,1)^{T}$ ，将 $k_{1}=-k, k_{2}=k$ 代入（I）或（II）的通解，得 $k(-1,1,1,1)^{T}$ ，故方程组（I）与（II）的所有非零公共解为 $$ k(-1,1,1,1)^{T} \text { (其中 } k \neq 0 \text { 为任意常数). } $$