中国科学院真题 第20127题
📝 题目
2．（15 分）给定两个四维向量 $\alpha_{1}=\left(\frac{1}{3},-\frac{2}{3}, 0, \frac{2}{3}\right)^{T}, \alpha_{2}=\left(-\frac{2}{\sqrt{6}}, 0, \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}\right)$ ．求作一个四阶正交矩阵 $Q$ ，以 $\alpha_{1}, \alpha_{2}$ 作为它的前两个列向量．
💡 答案解析
2．解 设正交矩阵 $\mathbf{Q}=\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}\right)$ ，则 $\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 是齐次线性方程组
$$
\binom{\boldsymbol{a}_{1}^{T}}{\boldsymbol{a}_{2}^{T}} X=0 \text {, 即 }\left\{\begin{array}{l}
x_{1}-2 x_{2}+2 x_{4}=0 \\
-2 x_{1}+x_{3}+x_{4}=0
\end{array}\right.
$$
的解空间 $\mathbf{S}$ 的一个标准正交基。容易求得上述方程组的一个基础解系为
$$
\boldsymbol{\eta}_{1}=(2,1,4,0)^{T}, \quad \boldsymbol{\eta}_{2}=(-2,0,-5,1)^{T} .
$$
利用施密特正交化方法，由 $\boldsymbol{\eta}_{1}, \boldsymbol{\eta}_{2}$ 可得 $\mathbf{S}$ 的一个标准正交基为
$$
\boldsymbol{\alpha}_{3}=\frac{1}{\sqrt{21}}(2,1,4,0)^{T}, \quad \boldsymbol{\alpha}_{4}=\frac{1}{3 \sqrt{14}}(2,8,-3,7)^{T} .
$$
注：因为方程组的基础解系不唯一，所以 $\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 因而 $Q$ 的解法也不唯一。
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：1. 求与α1,α2正交的向量空间的一组基；2. 用施密特正交化方法将基正交化、单位化得α3,α4；3. 以α1,α2,α3,α4为列构成正交矩阵。
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