中国科学院真题 第20129题
📝 题目
4．（20 分）证明函数 $\log \operatorname{det}(\cdot)$ 在对称正定矩阵集上是凹函数，即：对于任意两个 $n \times n$对称正定矩阵 $A, B$ ，及 $\forall \lambda \in[0,1]$ ，有
$$
\log \operatorname{det}(\lambda A+(1-\lambda) B) \geq \lambda \log \operatorname{det}(A)+(1-\lambda) \log \operatorname{det}(B),
$$
其中，函数 $\log \operatorname{det}(A)$ 表示先对矩阵 $A$ 取行列式再取自然对数。
💡 答案解析
4．证 因为 $A, B$ 是正定矩阵，所以（见本题注（2）），存在 $n$ 阶可逆矩阵 $P$ ，使得
$$
A=P P^{T}, \quad B=P D P^{T},
$$
其中 $D=\operatorname{diag}\left(\mu_{1}, \mu_{2}, \cdots, \mu_{n}\right), \mu_{i}>0, i=1,2, \cdots, n$ ．于是
$$
\begin{aligned}
& \log \operatorname{det}(\lambda A+(1-\lambda) B)=\log \operatorname{det}\left(P P^{T}\right)+\log \operatorname{det}(\lambda E+(1-\lambda) D), \\
& \lambda \log \operatorname{det}(A)+(1-\lambda) \log \operatorname{det}(B)=\log \operatorname{det}(A)+(1-\lambda) \log \operatorname{det}(D) .
\end{aligned}
$$
比较上述二式，我们只需证明
$$
\begin{equation*}
\log \operatorname{det}(\lambda E+(1-\lambda) D) \geq(1-\lambda) \log \operatorname{det}(D) . \tag{1}
\end{equation*}
$$
因为对数函数是严格上凸函数，故
$$
\begin{align*}
\log \operatorname{det}(\lambda E+(1-\lambda) D)= & \log \prod_{i=1}^{n}\left(\lambda+(1-\lambda) \mu_{i}\right)=\sum_{i=1}^{n} \log \left(\lambda+(1-\lambda) \mu_{i}\right) \\
& \geq \sum_{i=1}^{n}\left[\lambda \log 1+(1-\lambda) \log \mu_{i}\right] \tag{2}\\
& =(1-\lambda) \sum_{i=1}^{n} \log \mu_{i}=(1-\lambda) \log \operatorname{det}(D)
\end{align*}
$$
这就证得（1）式，从而所给不等式得证。
注：（1）由于对数函数 $\log x$ 的严格凸性，根据（2）式知，等号成立的充分必要条件是 $\lambda=0$ 或 1 或 $\mu_{i}=1(i=1,2, \cdots, n)$ 。因此，原不等式中的等号成立的充要条件是 $\lambda=0$ 或 1或 $A=B$ ．
（2）（浙江大学2000年研究生试题）设 $A$ 是 $n$ 阶正定矩阵，$B$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，证明：必存在 $n$ 阶可逆矩阵 $G$ ，使
$$
G^{T} A G=E, G^{T} B G=\operatorname{diag}\left(\mu_{1}, \mu_{2}, \cdots, \mu_{n}\right)
$$
其中 $E$ 是 $n$ 阶单位矩阵，$\mu_{1}, \mu_{2}, \cdots, \mu_{n}$ 是 $|\lambda A-B|=0$ 的 $n$ 个实根．
证明如下：因为 $A$ 是 $n$ 阶正定矩阵，所以存在 $n$ 阶可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{T} A P=E$ ，由于 $B$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，所以 $P^{T} B P$ 也 $n$ 阶实对称矩阵，故存在 $n$ 阶正交矩阵 $Q$ ，使得
$$
Q^{T}\left(P^{T} B P\right) Q=\operatorname{diag}\left(\mu_{1}, \mu_{2}, \cdots, \mu_{n}\right),
$$
其中 $\mu_{1}, \mu_{2}, \cdots, \mu_{n}$ 是 $P^{T} B P$ 的 $n$ 个实特征值，令 $G=P Q$ ，则
$$
G^{T} A G=E, G^{T} B G=\operatorname{diag}\left(\mu_{1}, \mu_{2}, \cdots, \mu_{n}\right)
$$
注意到
$$
G^{T}(\lambda A-B) G=\operatorname{diag}\left(\lambda-\mu_{1}, \lambda-\mu_{2}, \cdots, \lambda-\mu_{n}\right),
$$
两边取行列式，得
$$
|G|^{2}|\lambda A-B|=\left(\lambda-\mu_{1}\right)\left(\lambda-\mu_{2}\right) \cdots\left(\lambda-\mu_{n}\right) .
$$
因此，$\mu_{1}, \mu_{2}, \cdots, \mu_{n}$ 是 $|\lambda A-B|=0$ 的 $n$ 个实根．
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：1. 存在可逆P使A=PP^T，B=PDP^T，D对角正定；2. 代入不等式化简为log det(λE+(1-λ)D)≥(1-λ)log det(D)；3. 利用对数函数凸性得每个对角元满足不等式，求和即得。
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