中国科学院真题 第20130题
📝 题目
5．（20 分）（i）考虑如下形式的矩阵：
$$
P=\left(\begin{array}{cccc}
a_{1}^{2} & a_{1} a_{2} & \cdots & a_{1} a_{n} \\
a_{2} a_{1} & a_{2}^{2} & \cdots & a_{2} a_{n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n} a_{1} & a_{n} a_{1} & \cdots & a_{n}^{2}
\end{array}\right)
$$
其中，$a_{i}, 1 \leq i \leq n$ 都为实数。证明：矩阵 $P$ 非负定；（ii）证明：非零实二次型 $f\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)$可以写成 $f\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)=\left(u_{1} x_{1}+\cdots+u_{n} x_{n}\right)\left(v_{1} x_{1}+\cdots v_{n} x_{n}\right)$ 的充要条件是：或者它的秩为 1 ，或者它的秩为 2 且符号差为零．
💡 答案解析
5．证（1）设 $A=\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)^{T}$ ，则 $P=A A^{T}$ 是实对称矩阵。对于任意的 $n$ 维实的列向量 $\mathbf{x}=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)^{T}$ ，则 $A^{T} \mathbf{x}=\sum_{i=1}^{n} a_{i} x_{i}$ 为实数，且
$$
\mathbf{x}^{T} P \mathbf{x}=\left(A^{T} \mathbf{x}\right)^{T}\left(A^{T} \mathbf{x}\right)=\left(\sum_{i=1}^{n} a_{i} x_{i}\right)^{2} \geq 0
$$
所以 $P$ 是非负定矩阵。
（2）先证必要性．设 $\boldsymbol{\alpha}=\left(u_{1}, u_{2}, \cdots, u_{n}\right)^{T}, \boldsymbol{\beta}=\left(v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}\right)^{T}$ ，则 $\boldsymbol{\alpha} \neq \mathbf{0} \boldsymbol{\beta} \neq \mathbf{0}$ ，且 $f=\mathbf{x}^{T} A \mathbf{x}$ 的矩阵为 $A=\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^{T}+\boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\alpha}^{T}\right)$ ．显然 $1 \leq \operatorname{rank}(A) \leq 2$ ．
若 $\boldsymbol{\alpha}$ 与 $\boldsymbol{\beta}$ 线性相关，则 $\boldsymbol{\alpha}=k \boldsymbol{\beta}, k \neq 0$ ，所以 $A=k \boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\beta}^{T}, ~ \operatorname{rank}(A)=1$ ，因此二次型 $f$的秩为 1 ；
若 $\boldsymbol{\alpha}$ 与 $\boldsymbol{\beta}$ 线性无关，不妨设 $u_{1} v_{2} \neq u_{2} v_{1}$ ，则经非退化的线性变换
$$
y_{1}=u_{1} x_{1}+u_{2} x_{2}+\cdots+u_{n} x_{n}, \quad y_{2}=v_{1} x_{1}+v_{2} x_{2}+\cdots+v_{n} x_{n}, \quad y_{i}=x_{i}(i=3, \cdots, n)
$$
可得 $f=y_{1} y_{2}$ 。再作非退化的线性变换 $y_{1}=z_{1}+z_{2}, y_{2}=z_{1}-z_{2}, y_{i}=z_{i}(i=3, \cdots, n)$ ，则 $f=z_{1}{ }^{2}-z_{2}{ }^{2}$ ，因此 $f$ 的秩为 2 且符号差为 0 ．
再证充分性．若 $f=\mathbf{x}^{T} B \mathbf{x}$ 的秩为 1 ，即 $\operatorname{rank}(B)=1$ ，则存在 $n$ 维实的列向量 $\boldsymbol{\alpha}=\left(u_{1}, u_{2}, \cdots, u_{n}\right)^{T} \neq 0, \boldsymbol{\beta}=\left(v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}\right)^{T} \neq 0$ ，使 $B=\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^{T}$ ，于是有
$$
f=\mathbf{x}^{T} B \mathbf{x}=\left(u_{1} x_{1}+u_{2} x_{2}+\cdots+u_{n} x_{n}\right)\left(v_{1} x_{1}+v_{2} x_{2}+\cdots+v_{n} x_{n}\right) ;
$$
若 $f=\mathbf{x}^{T} B \mathbf{x}$ 的秩为2且符号差为 0 ，则存在实的非退化线性变换 $\mathbf{x}=C \mathbf{y}$ 或 $\mathbf{y}=C^{-1} \mathbf{x}$ ，使 $f=y_{1}{ }^{2}-y_{2}{ }^{2}$ 。令 $C^{-1}=\left(c_{i j}\right)$ ，及 $u_{i}=c_{1 i}+c_{2 i}, v_{i}=c_{1 i}-c_{2 i}, i=1,2, \cdots, n$ ，则
$$
f=\left(y_{1}+y_{2}\right)\left(y_{1}-y_{2}\right)=\left(u_{1} x_{1}+u_{2} x_{2}+\cdots+u_{n} x_{n}\right)\left(v_{1} x_{1}+v_{2} x_{2}+\cdots+v_{n} x_{n}\right) .
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：利用向量外积证明非负定性；二次型可分解的充要条件为秩1或秩2且符号差0。
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