中国科学院真题 第20132题
📝 题目
7．（20 分）是求 7 次多项式 $f(x)$ ，使 $f(x)+1$ 能被 $(x-1)^{4}$ 整除，而 $f(x)-1$ 能被 $(x+1)^{4}$ 整除。
💡 答案解析
7．解 因为 $x=1$ 是 $f(x)+1$ 的 4 重根，所以 $x=1$ 是 $f^{\prime}(x)$ 的 3 重根．同理可知 $x=-1$ 是 $f^{\prime}(x)$ 的 3 重根．又因为 $\operatorname{deg} f^{\prime}(x)<\operatorname{deg} f(x)=7$ ，故 $\operatorname{deg} f^{\prime}(x)=6$ ，于是可设
$$
f^{\prime}(x)=a(x-1)^{3}(x+1)^{3}=a\left(x^{6}-3 x^{4}+3 x^{2}-1\right) \text {, 其中 } a \text { 待定. }
$$
从而有
$$
f(x)=a\left(\frac{1}{7} x^{7}-\frac{3}{5} x^{5}+x^{3}-x\right)+b
$$
又由已知 $f(1)=-1, f(-1)=1$ ，可得
$$
a\left(\frac{1}{7}-\frac{3}{5}\right)+b=-1, a\left(-\frac{1}{7}+\frac{3}{5}\right)+b=1 .
$$
解得 $a=\frac{35}{16}, b=0$ ，因此 $f(x)=\frac{5}{16} x^{7}-\frac{21}{16} x^{5}+\frac{35}{16} x^{3}-\frac{35}{16} x$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：由整除条件得出重根信息，通过导数确定多项式形式，代入边界条件解出待定系数。
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