中国科学院真题 第20133题
📝 题目
8．（20 分）给定一单调递减序列 $b_{1}>b_{2}>\cdots>b_{p}>0$ ，定义
$$
\beta=\left(p!\frac{p}{p-1}\right)^{\frac{1}{\min _{1 \leq k \leq p-1}\left(b_{k}-b_{k+1}\right)}}
$$
假设复数 $a_{i}, i=1,2, \cdots, p$ 满足 $\left|a_{i}\right|>\beta\left|a_{i+1}\right|, i=1,2, \cdots, p-1$ ，且 $\left|a_{p}\right| \geq 1$ 。
证明以下行列式
$$
D=\left|\begin{array}{cccc}
a_{1}^{b_{1}} & a_{1}^{b_{2}} & \cdots & a_{1}^{b_{p}} \\
a_{2}^{b_{1}} & a_{2}^{b_{2}} & \cdots & a_{2}^{b_{p}} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{p}^{b_{1}} & a_{p}^{b_{2}} & \cdots & a_{p}^{b_{p}}
\end{array}\right|
$$
其绝对值有上下界如下：
$$
\frac{1}{p} \prod_{i=1}^{p}\left|a_{i}\right|^{b_{i}}<|D|<2 \prod_{i=1}^{p}\left|a_{i}\right|^{b_{i}} .
$$
💡 答案解析
8．证 根据行列式的定义，$D$ 为 $p$ ！个乘积项的和：
$$
D=\sum_{i_{1} i_{2} \cdots i_{p}}(-1)^{\tau\left(i_{1} i_{2} \cdots i_{p}\right)} a_{i_{1}}^{b_{1}} a_{i_{2}}^{b_{2}} \cdots a_{i_{p}}^{b_{p}},
$$
其中 $\tau\left(i_{1} i_{2} \cdots i_{p}\right)$ 是排列 $i_{1} i_{2} \cdots i_{p}$ 的逆序数，则
$$
\begin{equation*}
\prod_{i=1}^{p}\left|a_{i}\right|^{b_{i}}-D_{1} \leq|D| \leq \prod_{i=1}^{p}\left|a_{i}\right|^{b_{i}}+D_{1}, \tag{1}
\end{equation*}
$$
其中 $D_{1}=\sum_{i_{1} i_{2} \cdots i_{p} \neq 12 \cdots p}\left|a_{i_{1}}\right|^{b_{1}}\left|a_{i_{2}}\right|^{b_{2}} \cdots\left|a_{i_{p}}\right|^{b_{p}}$ 是 $p!-1$ 个乘积项的和，而且每一乘积项中 $a_{i j}, b_{j}$ 的下标呈乱序排列。对于每一个这样的乘积项，容易证明如下不等式：
$$
\left|a_{i_{1}}\right|^{b_{1}}\left|a_{i_{2}}\right|^{b_{2}} \cdots\left|a_{i_{p}}\right|^{b_{p}} \leq \frac{p-1}{p!p} \prod_{i=1}^{p}\left|a_{i}\right|^{b_{i}} .
$$
于是有 $D_{1} \leq(p!-1) \frac{p-1}{p!p} \prod_{i=1}^{p}\left|a_{i}\right|^{b_{i}}=\left(1-\frac{1}{p}-\frac{p-1}{p!p}\right) \prod_{i=1}^{p}\left|a_{i}\right|^{b_{i}}$ ．
代入（1）式即得所证不等式：
$$
\frac{1}{p} \prod_{i=1}^{p}\left|a_{i}\right|^{b_{i}}<|D|<2 \prod_{i=1}^{p}\left|a_{i}\right|^{b_{i}}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：将行列式按定义展开，估计主项和其余项的大小，利用条件放缩得到上下界。
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