中国科学院真题 第20145题
📝 题目
2．（16分）线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{c}
a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=0 \\
a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=0 \\
\cdots \quad \cdots \quad \cdots \quad \cdots \\
a_{n-1,1} x_{1}+a_{n-1,2} x_{2}+\cdots+a_{n-1, n} x_{n}=0
\end{array}\right.
$$
的系数矩阵为
$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n-1,1} & a_{n-1,2} & \cdots & a_{n-1, n}
\end{array}\right) .
$$
设 $M_{j}(j=1,2, \cdots, n)$ 是在矩阵 $A$ 中化去第 $j$ 列所得到的 $n-1$ 阶子式。求证：
（1）$\left(M_{1},-M_{2}, \cdots,(-1)^{n-1} M_{n}\right)$ 是方程组的一个解；
（2）如果 $A$ 的秩为 $n-1$ ，那么方程组的解全是 $\left(M_{1},-M_{2}, \cdots,(-1)^{n-1} M_{n}\right)$ 的倍数。
💡 答案解析
2．证
（1）构造一个行列式，
$$
D(i)=\left|\begin{array}{cccc}
a_{i 1} & a_{i 2} & \cdots & a_{i n} \\
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n-1,1} & a_{n-1,2} & \cdots & a_{n-1, n}
\end{array}\right|,
$$
显然，$D(i)=0(i=1,2, \cdots, n-1)$ ．
将 $D(i)$ 按第一行展开得，
$$
D(i)=a_{i 1} M_{1}-a_{i 2} M_{2}+\cdots+(-1)^{n-1} M_{n} \quad(i=1,2, \cdots, n-1),
$$
从而 $\left(M_{1},-M_{2}, \cdots,(-1)^{n-1} M_{n}\right)$ 是方程组的一个解。
（2）首先，$A$ 的秩为 $n-1$ ，则方程组的解空间的维数为 1 。而由上问 $\left(M_{1},-M_{2}, \cdots,(-1)^{n-1} M_{n}\right)$ 是一个解，故只须证 $\left(M_{1},-M_{2}, \cdots,(-1)^{n-1} M_{n}\right)$ 非零即可。
另一方面，$A$ 的秩为 $n-1$ ，则 $A$ 有一 $n-1$ 阶子式不为零，即存在 $M_{k}$ ，有 $M_{k} \neq 0$ ，从而 $\left(M_{1},-M_{2}, \cdots,(-1)^{n-1} M_{n}\right)$ 非零。问题得证。
二次曲面的二次型矩阵为
$$
A=\left(\begin{array}{lll}
1 & b & 1 \\
b & a & 1 \\
1 & 1 & 1
\end{array}\right)
$$
由题意， $0,1,4$ 为 $A$ 的特征值．
即
$$
\begin{aligned}
|\lambda E-A| & =\left|\begin{array}{ccc}
\lambda-1 & -b & -1 \\
-b & \lambda-a & -1 \\
-1 & -1 & \lambda-1
\end{array}\right|=(\lambda-1)^{2}(\lambda-a)-b^{2}(\lambda-1)-2 \lambda+a+1-2 b \\
& =\lambda(\lambda-1)(\lambda-4)
\end{aligned}
$$
解得，$a=3, b=1$ ．
这样，对应于特征值为 $\lambda=0,1,4$ 的特征向量分别为，
$$
\alpha_{1}=\left(\begin{array}{c}
-1 \\
0 \\
1
\end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{c}
1 \\
-1 \\
1
\end{array}\right), \alpha_{3}=\left(\begin{array}{l}
1 \\
2 \\
1
\end{array}\right),
$$
显然它们是正交的，单位化得，
$$
\beta_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}} \alpha_{1}, \beta_{2}=\frac{1}{\sqrt{3}} \alpha_{2}, \beta_{3}=\frac{1}{\sqrt{6}} \alpha_{3},
$$
从而得正交矩阵 $P$
$$
P=\left(\begin{array}{ccc}
-\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\
0 & -\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{2}{\sqrt{6}} \\
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{6}}
\end{array}\right) .
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：构造n阶行列式按第一行展开得到线性组合为零，利用秩的条件证明解向量非零且为通解。
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