中国科学院真题 第20152题

9．证 （1）设 $\forall v_{1}, v_{2} \in W, \forall k \in P, P$ 为数域，则 $$ \begin{aligned} & f\left(v_{1}+v_{2}\right)=f\left(v_{1}\right)+f\left(v_{2}\right)=v_{1}+v_{2} \\ & f\left(k v_{1}\right)=k f\left(v_{1}\right)=k v_{1} \end{aligned} $$ 则，$v_{1}+v_{2}, k v_{1} \in W$ ，即 $W$ 是 $V$ 的一个子空间． （2）首先，$f^{n}=I$ ，则 $(I-f)\left(I+f+\cdots+f^{n-1}\right)=0$ ，假定，这里 $n$ 是使 $f^{n}=I$ 成 立的最小值，从而 $f(x)=x^{n}-1$ 为 $f$ 的最小多项式。 $1, \omega^{i}, i=1,2, \cdots n-1, \omega=e^{\frac{2 \pi}{n} i}$ 是 $f$ 的特征值，它们两两不相同，从而 $f$ 相似于对角矩阵。也即 $$ Q^{-1} f Q=\left(\begin{array}{ccccc} E & & & & \\ & E_{\omega} & & & \\ & & E_{\omega^{2}} & & \\ & & & \ddots & \\ & & & & E_{\omega^{n-1}} \end{array}\right) $$ 其中，$E=\left(\begin{array}{lll}1 & & \\ & \ddots & \\ & & 1\end{array}\right), E_{\omega^{i}}=\left(\begin{array}{ccc}\omega^{i} & & \\ & \ddots & \\ & & \omega^{i}\end{array}\right), ~ Q$ 为可逆变换。 显然 $W$ 为对应特征值为 1 的特征子空间，由 $f$ 相似于对角矩阵，显然其维数 $\operatorname{dim} W$ 与特征值 1 的重数相同，不妨设为 $r$ 。 另一方面， $$ \begin{aligned} Q^{-1}\left(\left(f+f^{2}+\cdots+f^{n}\right) / n\right) Q= & \frac{Q^{-1} f Q+\left(Q^{-1} f Q\right)^{2}+\cdots+\left(Q^{-1} f Q\right)^{n}}{n} \\ & =\frac{1}{n}\left(\begin{array}{ccccc} n E & & & & \\ & E_{\omega}+\cdots+E_{\omega}{ }^{n} & & & E_{\omega^{n-1}}+\cdots+E_{\omega^{n-1}}{ }^{n} \end{array}\right) \\ & =\frac{1}{n}\left(\begin{array}{cccc} n E & & & \\ & 0 & & \\ & & 0 & \\ & & \ddots & \\ & & & 0 \end{array}\right) \end{aligned} $$ 即 $\operatorname{Tr}\left(Q^{-1}\left(\left(f+f^{2}+\cdots+f^{n}\right) / n\right) Q\right)=r$ ，又由相似矩阵有相同的迹，从而 $$ \operatorname{Tr}\left(\left(f+f^{2}+\cdots+f^{n}\right) / n\right)=r $$ 从而 $\operatorname{dim} W=\operatorname{Tr}\left(\left(f+f^{2}+\cdots+f^{n}\right) / n\right)$ ．