中国科学院真题 第20151题
📝 题目
8．（16 分）$A \in \mathbb{R}^{2006 \times 2006}$ 是给定的幂零阵（即：存在正整数 $p$ 使得 $A^{p}=0$ 而 $A^{p-1} \neq 0$ ），试分析线性方程 $A x=0\left(x \in \mathbb{R}^{2006}\right)$ 非零独立解个数的最大值和最小值．
💡 答案解析
8．解
首先，证 $\operatorname{rank}(A B) \geq \operatorname{rank}(A)+\operatorname{rank}(B)-n$
$$
\begin{gathered}
\left(\begin{array}{cc}
E_{n} & 0 \\
-A & E_{s}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
E_{n} & B \\
A & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
E_{n} & -B \\
0 & E_{m}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
E_{n} & 0 \\
0 & -A B
\end{array}\right), \\
\operatorname{rank}\left(\begin{array}{cc}
E_{n} & B \\
A & 0
\end{array}\right)=\operatorname{rank}\left(E_{n}\right)+\operatorname{rank}(-A B)=n+\operatorname{rank}(A B),
\end{gathered}
$$
但
$$
\operatorname{rank}\left(\begin{array}{cc}
E_{n} & B \\
A &
\end{array}\right)=\operatorname{rank}\left(\begin{array}{cc}
B & E_{n} \\
& A
\end{array}\right) \geq \operatorname{rank}(A)+\operatorname{rank}(B),
$$
从而得 $\operatorname{rank}(A B) \geq \operatorname{rank}(A)+\operatorname{rank}(B)-n$ ．
这样，
$$
\begin{aligned}
0 & =\operatorname{rank}\left(A^{p}\right)=\operatorname{rank}\left(A A^{p-1}\right) \geq \operatorname{rank}(A)+\operatorname{rank}\left(A^{p-1}\right)-n \\
& \geq 2 \operatorname{rank}(A)+\operatorname{rank}\left(A^{p-2}\right)-2 n \geq \cdots \\
& \geq p \times \operatorname{rank}(A)-(r-1) n
\end{aligned}
$$
从而， $\operatorname{rank}(A) \leq \frac{(p-1) n}{p}$ ．
当 $n=2006$ 时，有 $\operatorname{rank}(A) \leq \frac{2006(p-1)}{p}$ ．
又因为，$A$ 是幂零阵的充要条件是存在可逆阵 $P$ ，使得
$$
P^{-1} A P=\left(\begin{array}{ccccc}
\left(\begin{array}{cccc}
0 & 1 & & \\
& \ddots & \ddots & \\
& & \ddots & 1 \\
& & & 0
\end{array}\right) & & & & \\
& & & \ddots & \\
& & & & \\
& & & & \left(\begin{array}{llll}
0 & 1 & & \\
& \ddots & \ddots & \\
& & \ddots & 1 \\
& & & \\
& & & 0
\end{array}\right)
\end{array}\right)
$$
其中至少含有一个 $p$ 级约当块，则显然 $\operatorname{rank}(A) \geq p$ 。
从而 $p \leq \operatorname{rank}(A) \leq \frac{2006(p-1)}{p}$ 。
则又 $A x=0\left(x \in \mathbb{R}^{2006}\right)$ 非零独立解的个数为 $n-\operatorname{rank}(A)$ ，
则其个数的最大最小值为 $n-p, n-\frac{2006(p-1)}{p}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：利用秩的不等式递推得到幂零矩阵的秩范围，从而得到零空间的维数范围。
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