中国科学院真题 第20150题
📝 题目
7．（16 分）设有实二次型 $f(x)=x^{T} A x$ ，其中 $x^{T}$ 是 $x$ 的转置，$A$ 是 $3 \times 3$ 实对称矩阵并满足以下方程：
$$
A^{3}-6 A^{2}+11 A-6 I=0
$$
试计算
$$
\max _{A} \max _{\|x\|=1} f(x)
$$
其中 $\|x\|^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}$ ，第一个极大值是满足以上方程的所有实对称矩阵 $A$ 来求。
💡 答案解析
7．解
由 $A^{3}-6 A^{2}+11 A-6 I=0$ ，此即 $A$ 的特征多项式，知 $A$ 的特征值为 $1,2,3$ ．
而对 $f(x)=x^{T} A x$ ，有 $\lambda_{1} x^{T} x \leq x^{T} A x \leq \lambda_{2} x^{T} x$ ，其中 $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ 分别为 $A$ 的最小、最大特征值。
且 $f(x)$ 的极值在对应 $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ 的特征向量方向上．
从而 $\max _{A} \max _{\|x\|=1} f(x)=3$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：由矩阵方程得特征值为1,2,3，利用实二次型最大值等于最大特征值求得结果。
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