中国科学院真题 第20164题

3）证明更一般的结论：若 $J^{-1}$ 变为 $K^{-1}(Z), K(Z)=\left(k_{a b}\right) \in \mathbb{R}^{2 n \times 2 n}$ 反对称，可逆且满足恒等式 $\frac{\partial k_{a b}}{\partial z_{c}}+\frac{\partial k_{b c}}{\partial z_{a}}+\frac{\partial k_{c a}}{\partial z_{b}}=0,1 \leq a, b, c \leq 2 n$ ，则系统的相流总是满足： $$ \left[\frac{\partial g^{t}(Z)}{\partial Z}\right]^{T} K\left(g^{t}(Z)\right)\left[\frac{\partial g^{t}(Z)}{\partial Z}\right]=K(Z) . $$ 这更一般情况下系统的相流是指任意给定一个 $Z, g^{t}(Z)$ 是系统的解： $$ \frac{d g^{t}(Z)}{d t}=K^{-1}(Z) \nabla H\left(g^{t}(Z)\right) $$ 设 $A$ 是 $n \times n$ 正定实对称矩阵，$y \in \mathbb{R}^{n}$ ，且 $y \neq 0$ 。证明极限 $$ \lim _{m \rightarrow \infty} \frac{y^{T} A^{m+1} y}{y^{T} A^{m} y} $$ 存在且等于 $A$ 的一个特征值（其中 $\mathbb{R}^{n}$ 表示 $n$ 维实数域）。 证明：由题意，存在正交阵 $P$ ，使得 $A=P^{T} A P=P^{-1} A P$ ，其中 $$ A=\left(\begin{array}{cccc} \lambda_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_{2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n} \end{array}\right) $$ 且 $0<\lambda_{1} \leq \lambda_{2} \leq \cdots \leq \lambda_{n}$ 为 $A$ 的特征值．于是 $$ \begin{aligned} \lim _{m \rightarrow \infty} \frac{y^{T} A^{m+1} y}{y^{T} A^{m} y} & =\lim _{m \rightarrow \infty} \frac{y^{T} A^{m+1} y}{y^{T} A^{m} y} \\ & =\lim _{m \rightarrow \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n} \lambda_{k}^{m+1} y_{k}^{2}}{\sum_{k=1}^{n} \lambda_{k}^{m} y_{k}^{2}} \\ & =\lambda_{j} \lim _{m \rightarrow \infty} \frac{\sum_{k=1}^{j-1}\left(\lambda_{k} / \lambda_{j}\right)^{m+1} y_{k}^{2}+y_{j}^{2}}{\sum_{k=1}^{j-1}\left(\lambda_{k} / \lambda_{j}\right)^{m} y_{k}^{2}+y_{j}^{2}}\left(\text { 其中 } j=\max \left\{k \mid y_{k} \neq 0\right\}\right) \\ & =\lambda_{j} \end{aligned} $$ 1）设 $A=\left(\begin{array}{cc}0 & -1 \\ 1 & 0\end{array}\right)$ 为线性变换 $A$ 在一组基下的矩阵表示，求 $A$ 的不变子空间；