中国科学院真题 第20173题

二、（20 分）已知 3 阶正交矩阵 $A$ 的行列式为 1．求证：$A$ 的特征多项式一定为 $$ f(\lambda)=\lambda^{3}-a \lambda^{2}+a \lambda-1 $$ 其中，$a \in \mathbb{R}$ 且 $-1 \leq a \leq 3$ 。（可与实数比较大小的数只有实数，故条件 $a \in \mathbb{R}$ 可略去） 证明 设 $A$ 的特征多项式 $f(\lambda)=\lambda^{3}-a_{2} \lambda^{2}+a_{1} \lambda-a_{0}$ ，其中 $a_{0}, a_{1}, a_{2} \in \mathbb{R}$ ．则 $a_{0}=|A|=1, a_{1}=\operatorname{tr}(A), a_{2}$ 是 $A$ 的所有二阶主子式之和． 设 $A$ 的所有特征值为 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$ ，由于 $A$ 是正交矩阵且 $|A|=1$ ，则 $$ \lambda_{1}=1,\left|\lambda_{2}\right|=\left|\lambda_{3}\right|=1, \overline{\lambda_{2}}=\lambda_{3} $$ 所以，$\left|\operatorname{Re} \lambda_{2}\right|=\left|\operatorname{Re} \lambda_{3}\right| \leq 1$ ，即 $\operatorname{Re} \lambda_{2} \in[-1,1]$ ，故 $$ a_{1}=\operatorname{tr} A=\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}=1+2 \operatorname{Re} \lambda_{2} \in[-1,3] $$ 由于 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$ 是 $f(\lambda)=\lambda^{3}-a_{2} \lambda^{2}+a_{1} \lambda-a_{0}$ 的根，结合根与系数的关系可得 $$ a_{2}=\lambda_{1} \lambda_{2}+\lambda_{1} \lambda_{3}+\lambda_{2} \lambda_{3}=\lambda_{2}+\lambda_{3}+\left|\lambda_{2}\right|^{2}=2 \operatorname{Re} \lambda_{2}+1=a_{1} \triangleq a $$ 则 $-1 \leq a \leq 3$ 且 $$ f(\lambda)=\lambda^{3}-a \lambda^{2}+a \lambda-1 $$