中国科学院真题 第20174题
📝 题目
三、 $(12+8=20$ 分）设 $A, B$ 是 $n$ 阶方阵，$A$ 可逆，$B$ 幂零，$A B=B A$ ．
（1）求证：$A+B$ 可逆；
（2）试举例说明要使（1）结论成立，条件 $A B=B A$ 是不可缺少的．
证明：（1）$\because A B=B A \quad \therefore$ 存在可逆矩阵 $P$ 使 $P^{-1} A P, P^{-1} B P$ 同为上三角矩阵，且上三角矩阵的主对角元素是它们的特征值
$\therefore P^{-1}(A+B) P$ 为上三角矩阵，且主对角元素为 $A, B$ 的特征值之和
$\because A$ 可逆，$B$ 幂零 $\therefore A$ 的特征值均不为零，$B$ 的特征值都是零
$\therefore P^{-1}(A+B) P$ 的特征值就是 $A$ 的特征值
$\therefore P^{-1}(A+B) P$ 可逆 $\therefore A+B$ 可逆．
（2）例如 $A=\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 2 & 2\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right)$ ，显然 $A$ 可逆，$B$ 幂零。
$\because A B=\left(\begin{array}{ll}0 & 2 \\ 0 & 2\end{array}\right) \neq\left(\begin{array}{ll}2 & 2 \\ 0 & 0\end{array}\right)=B A, \quad A+B=\left(\begin{array}{ll}2 & 2 \\ 2 & 2\end{array}\right)$ 不可逆
∴ 条件 $A B=B A$ 是不可缺少的．
💡 答案解析
三、 $(12+8=20$ 分）设 $A, B$ 是 $n$ 阶方阵，$A$ 可逆，$B$ 幂零，$A B=B A$ ．
（1）求证：$A+B$ 可逆；
（2）试举例说明要使（1）结论成立，条件 $A B=B A$ 是不可缺少的．
证明：（1）$\because A B=B A \quad \therefore$ 存在可逆矩阵 $P$ 使 $P^{-1} A P, P^{-1} B P$ 同为上三角矩阵，且上三角矩阵的主对角元素是它们的特征值
$\therefore P^{-1}(A+B) P$ 为上三角矩阵，且主对角元素为 $A, B$ 的特征值之和
$\because A$ 可逆，$B$ 幂零 $\therefore A$ 的特征值均不为零，$B$ 的特征值都是零
$\therefore P^{-1}(A+B) P$ 的特征值就是 $A$ 的特征值
$\therefore P^{-1}(A+B) P$ 可逆 $\therefore A+B$ 可逆．
（2）例如 $A=\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 2 & 2\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right)$ ，显然 $A$ 可逆，$B$ 幂零。
$\because A B=\left(\begin{array}{ll}0 & 2 \\ 0 & 2\end{array}\right) \neq\left(\begin{array}{ll}2 & 2 \\ 0 & 0\end{array}\right)=B A, \quad A+B=\left(\begin{array}{ll}2 & 2 \\ 2 & 2\end{array}\right)$ 不可逆
∴ 条件 $A B=B A$ 是不可缺少的．
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：利用可交换条件同时上三角化，结合特征值性质证明可逆；举反例说明交换性不可缺。
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