中国科学院真题 第20177题

六、（15 分）设 $\underline{A}$ 是 $n$ 维实线性空间 $V$ 的线性变换，$n \geq 1$ ．求证：$\underline{A}$ 至少有一个维数为 1 或 2 的不变子空间。 证明：若 $\underline{A}$ 有实特征值 $\lambda$ ，并设 $\underline{A} \alpha=\lambda \alpha$ 且 $\alpha \neq 0$ ，则 $\alpha \in \mathbb{R}^{n}$ ，且 $L(\alpha)$ 是 $\underline{A}$的一个一维不变子空间； 若 $\underline{A}$ 无实特征值，由于 $\underline{A}$ 是 $n$ 维实线性空间 $V$ 的线性变换，则 $\underline{A}$ 的虚特征值必以共轭对出现，不妨设 $\lambda, \bar{\lambda}$ 是 $\underline{A}$ 的一对虚特征值，并设 $\underline{A} \alpha=\lambda \alpha$ 且 $\alpha \neq 0$ ，则 $\alpha \in \mathbb{C}^{n}, \alpha \notin \mathbb{R}^{n}, \underline{A} \bar{\alpha}=\bar{\lambda} \bar{\alpha}$ ，可设 $\lambda=a+i b, \alpha=\alpha_{1}+i \alpha_{2}$ ，其中，$a, b \in \mathbb{R}, b \neq 0, \alpha_{1}, \alpha_{2} \in \mathbb{R}^{n}, \alpha_{2} \neq 0$ ，那么 $$ \begin{aligned} & \underline{A} \alpha_{1}+i \underline{A} \alpha_{2}=\underline{A} \alpha=(a+i b)\left(\alpha_{1}+i \alpha_{2}\right)=\left(a \alpha_{1}-b \alpha_{2}\right)+i\left(a \alpha_{2}+b \alpha_{1}\right) \\ & \underline{A} \alpha_{1}-i \underline{A} \alpha_{2}=\underline{A} \bar{\alpha}=(a-i b)\left(\alpha_{1}-i \alpha_{2}\right)=\left(a \alpha_{1}-b \alpha_{2}\right)-i\left(a \alpha_{2}+b \alpha_{1}\right) \end{aligned} $$ 所以，$\underline{A} \alpha_{1}=a \alpha_{1}-b \alpha_{2}, \underline{A} \alpha_{2}=a \alpha_{2}+b \alpha_{1}$ ， 故 $L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right)$ 是 $\underline{A}$ 的一个二维不变子空间． 综上可得，$\underline{A}$ 至少有一个维数为 1 或 2 的不变子空间。