中国科学院真题 第20178题

七、 $(12+8=20$ 分）设循环矩阵 $C$ 为 $$ \left(\begin{array}{cccc} c_{0} & c_{1} & \cdots & c_{n-1} \\ c_{n-1} & c_{0} & \cdots & c_{n-2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{1} & c_{2} & \cdots & c_{0} \end{array}\right) $$ （1）求 $C$ 的所有特征值以及相应的特征向量； （2）求 $|C|$ 。 解：（1）构造多项式：$f(\lambda)=c_{0}+c_{1} \lambda+\cdots+c_{n-1} \lambda^{n-1}$ 。设 $P$ 是 $n$ 阶初等置换矩阵： $$ \left(\begin{array}{ccccc} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{array}\right) $$ 则 $C=f(P)$ ． $\because|\lambda I-P|=\lambda^{n}-1=\prod_{k=0}^{n-1}\left(\lambda-\omega^{k}\right)$ ，其中 $\omega=e^{i \frac{2 \pi}{n}}$ 是 $\lambda^{n}-1=0$ 的本原单位根． $\therefore \omega^{0}, \omega^{1}, \cdots, \omega^{n-1}$ 是 $P$ 的所有特征值 $\therefore f\left(\omega^{0}\right), f\left(\omega^{1}\right), \cdots, f\left(\omega^{n-1}\right)$ 是循环矩阵 $C$ 的所有特征值． $\forall k \in\{0,1,2, \cdots, n-1\}$ ，令 $x_{k}=\left(1, \omega^{k}, \omega^{2 k}, \cdots, \omega^{(n-1) k}\right)^{T}$ ，则 $$ P x_{k}=\left(\omega^{k}, \omega^{2 k}, \cdots, \omega^{(n-1) k}, 1\right)^{T}=\omega^{k} x_{k} $$ 所以 $$ C x_{k}=f(P) x_{k}=f\left(\omega^{k}\right) x_{k} $$ 综上可得 循环矩阵 $C$ 的所有特征值为 $f\left(\omega^{0}\right), f\left(\omega^{1}\right), \cdots, f\left(\omega^{n-1}\right)$ ，它们对应的特征向量分别为 $x_{0}=(1,1, \cdots, 1)^{T}, \quad x_{k}=\left(1, \omega^{k}, \omega^{2 k}, \cdots, \omega^{(n-1) k}\right)^{T}, \quad \cdots, \quad x_{n-1}=\left(1, \omega^{n-1}, \omega^{2(n-1)}, \cdots, \omega^{(n-1)^{2}}\right)^{T}$. （2）由（1）可得 $$ |C|=\prod_{k=0}^{n-1} f\left(\omega^{k}\right) $$