中国科学院真题 第20179题

八、（15 分）设 $M_{n}(\mathbb{C})$ 是复数域上所有 $n$ 阶方阵所组成的线性空间，$T: M_{n}(\mathbb{C}) \rightarrow \mathbb{C}$ 是线性映射，满足 $$ T(A B)=T(B A) $$ 求证：$\forall A \in M_{n}(\mathbb{C})$ ，总 $\exists \lambda \in \mathbb{C}$ 使 $$ T(A)=\lambda \operatorname{tr}(A) $$ 证明：反证法．$\forall A \in M_{n}(\mathbb{C})$ ，假设 $\forall \lambda \in \mathbb{C}$ 怛有 $T(A) \neq \lambda \operatorname{tr}(A)$ 。 设 $T(A)=t_{A} \in \mathbb{C}$ ，若 $t_{A}=0$ ，取 $\lambda=0$ 有 $t_{A}=\lambda \operatorname{tr}(A)$ ，这与假设矛盾，故 $t_{A} \neq 0$ ． 若 $\operatorname{tr}(A) \neq 0$ ，令 $\lambda=\frac{t_{A}}{\operatorname{tr}(A)}$ ，则 $t_{A}=\lambda \operatorname{tr}(A)$ ，这与假设矛盾，故 $\operatorname{tr}(A)=0$ ． 下面证明假设不成立。 另取 $\forall B \in M_{n}(\mathbb{C})$ ，设 $T(B)=t_{B} \in \mathbb{C}$ ，则对 $t_{A}, t_{B}$ 总存在 $a, b \in \mathbb{C}$ 使 $$ a t_{A}+b t_{B}=0 $$ 由之前的讨论，结合 $A$ 的任意性可得 $\operatorname{tr}(a A+b B)=0$ $\because T$ 是线性映射 $$ \therefore T(a A+b B)=a T(A)+b T(B)=a t_{A}+b t_{B}=0=\lambda \operatorname{tr}(a A+b B) $$ 这与假设矛盾，故假设不成立，所以 $\forall A \in M_{n}(\mathbb{C}), \exists \lambda \in \mathbb{C}$ 使 $$ T(A)=\lambda \operatorname{tr}(A) $$ 由于 $\operatorname{tr}(A B)=\operatorname{tr}(B A)$ ，所以 $T(A B)=\lambda \operatorname{tr}(A B)=\lambda \operatorname{tr}(B A)=T(B A)$ 满足题意，故 $\forall A \in M_{n}(\mathbb{C}), ~$ 总 $\exists \lambda \in \mathbb{C}$ 使 $$ T(A)=\lambda \operatorname{tr}(A) $$