南京大学真题 第20480题

八、（15 分）设 A 是三级正交矩阵并且 $|A|=1$ ，求证： （1） 1 是 A 的一个特征值 （2） A 的特征多项式 $f(\lambda)$ 可表示为 $f(\lambda)=\lambda^{3}-a \lambda^{2}+a \lambda-1$ ，其中 a 是某个实数。 （3）若 A 的特征值全为实数并且 $|A+E| \neq 0$ ，则 A 的转置 $A^{\prime}=A^{2}-3 A+3 E$ ，其中 E 是 3 级单位矩阵。 证明：（1）$|E-A|=\left|A A^{\prime}-A\right|=|A|\left|A^{\prime}-E\right|=|A-E|=(-1)^{3}|E-A|=-|E-A|$ ，故 $|E-A|=0$ ，所以 1 是 A 的一个特征值； （2）根据哈密尔顿一卡莱定理得到 A 的特征多项式 $f(\lambda)$ 为 $f(\lambda)=\lambda^{3}+a \lambda^{2}+b \lambda-1$ ，而根据（1）得出 $\lambda=1$ 是 $f(\lambda)=0$ 的解故解得 $a+b=0$ ，所以 $f(\lambda)=\lambda^{3}-a \lambda^{2}+a \lambda-1$ （3）因为 A 是三级正交矩阵，故 $A A^{\prime}=A^{\prime} A=E$ 即 $|A|^{2}=1$ ，而 $|A+E| \neq 0$ 故 $\lambda=-1$不是 A 的特征值，所以 $\lambda=1,1$ 是 A 的特征多项式 $f(\lambda)$ 的解，代入得到 $\mathrm{a}=3$ ，所以 A 的 特 征 多 项 式 $f(\lambda)=\lambda^{3}-3 \lambda^{2}+3 \lambda-1$ ，即 $A^{3}-3 A^{2}+3 A-E=0 \Leftrightarrow A\left(A^{2}-3 A+3 E\right)=E$ ，所以 $A^{\prime}=A^{2}-3 A+3 E$ 。