南京大学真题 第20479题

七、（15 分）设 A 是 n 级正定矩阵， B 是 n 级实矩阵并且 0 不是 B 的特征值，证明：$\left|A+B^{\prime} B\right|>|A|$ 分析： B 是 n 级实矩阵并且 0 不是 B 的特征值可得出 $|B| \neq 0$ ，即 B 可逆。而 $B^{\prime} B$为对称矩阵，故存在可逆矩阵 C 使它相似于对角矩阵即 $C^{-1} B^{\prime} B C=\left(\begin{array}{cccc}\lambda_{1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_{2} & 0 & 0 \\ \ldots \ldots & \ldots \ldots & \ldots \ldots & \ldots \ldots \\ 0 & 0 & 0 & \lambda_{\mathrm{n}}\end{array}\right)\left(\lambda_{1}, \lambda_{2} \ldots \ldots \lambda_{n}>0\right)$ ，而 A 又为 n 级正定矩 阵故存在可逆矩阵 D 使它相似于对角矩阵即 $D^{-1} A D=\left(\begin{array}{cccc}\gamma_{1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \gamma_{2} & 0 & 0 \\ \ldots \ldots & \ldots \ldots & \ldots \ldots & \ldots \ldots \\ 0 & 0 & 0 & \gamma_{\mathrm{n}}\end{array}\right)$ 所以 $$ \left|A+B^{\prime} B\right|=\left|(C D)^{-1}\left(A+B^{\prime} B\right)(C D)\right|=\left\lvert\, \begin{array}{cccccccc} \lambda_{1}+\gamma_{1} & 0 & 0 & 0 & \gamma_{1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_{2}+\gamma_{2} & 0 & 0 & 0 & \gamma_{2} & 0 & 0 \\ \ldots \ldots & \ldots \ldots & \ldots \ldots & \ldots \ldots & \mid>\ldots & \ldots \ldots & \ldots \ldots & \ldots \ldots \\ 0 & 0 & 0 & \lambda_{n}+\gamma_{n} & 0 & 0 & 0 & \gamma_{n} \end{array}\right. $$ 故有 $\left|A+B^{\prime} B\right|>|A|$ ，整理一下分析过程即得证明过程。