北京大学真题 第20229题
📝 题目
2．（15分）在空间直角坐标系中，
$$
l_{1}: \quad \frac{x-a}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z}{3}
$$
与
$$
l_{2}: \quad \frac{x}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{-2}
$$
是一对相交直线．
（1）求 $a$ ；
（2）求 $l_{2}$ 绕 $l_{1}$ 旋转出的曲面的方程．
💡 答案解析
2．解
（1）由直线相交的充要条件为
$$
\Delta=\left|\begin{array}{ccc}
-a & 1 & 0 \\
1 & -2 & 3 \\
2 & 1 & -2
\end{array}\right|=0, \quad X_{1}: Y_{1}: Z_{1} \neq X_{2}: Y_{2}: Z_{2}
$$
解得 $a=8$ ．
（2）显然，点（ $0,1,0$ ）在 $l_{1}$ 上．
设 $M\left(x_{1}, y_{1}, z_{2}\right)$ 是母线上的任意点，过 $M$ 的纬圆方程是
$$
\left\{\begin{array}{l}
2\left(x-x_{1}\right)+\left(y-y_{1}\right)-2\left(z-z_{1}\right)=0 \\
\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}+\left(z-z_{0}\right)^{2}=\left(x_{1}-x_{0}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{0}\right)^{2}+\left(z_{1}-z_{0}\right)^{2}
\end{array}\right.
$$
又 $M\left(x_{1}, y_{1}, z_{2}\right)$ 在母线上，所以，
$$
\frac{x_{1}}{2}=\frac{y_{1}-1}{1}=\frac{z_{1}}{-2} .
$$
由以上三式，消去 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，得旋转曲面为
$$
x^{2}+(y-1)^{2}+z^{2}=\frac{4(2 x+y-2 z-1)^{2}}{81}+\frac{(2 x+y-2 z-1)^{2}}{81}+\frac{4(2 x+y-2 z-1)^{2}}{81}
$$
化简得
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：由直线相交条件行列式为0求a，设母线上点构建纬圆方程，消参得旋转曲面方程。
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