北京大学真题 第20228题
📝 题目
1．（15 分）在空间直角坐标系中，点 $A, B, C$ 的坐标依次为：
$$
(-2,1,4),(-2,-3,-4),(-1,3,3)
$$
（1）求四面体 $O A B C$ 的体积；
（2）求三角形 $A B C$ 的面积。
💡 答案解析
1．解
（1）．由初等几何知，四面体 $O A B C$ 的体积 $V$ 等于以 $O A, O B, O C$ 为棱的平行六面体的体积的六分之一，因此，
$$
V=\frac{1}{6}|(\overrightarrow{O A}, \overrightarrow{O B}, \overrightarrow{O C})|
$$
但 $\overrightarrow{O A}=(-2,1,4), \overrightarrow{O B}=(-2,-3,-4), \overrightarrow{O C}=(-1,3,3)$ ，
所以 $(\overrightarrow{O A}, \overrightarrow{O B}, \overrightarrow{O C})=\left|\begin{array}{ccc}-2 & 1 & 4 \\ -2 & -3 & -4 \\ -1 & 3 & 3\end{array}\right|=-32$ ，
从而 $V=\frac{1}{6}|(\overrightarrow{O A}, \overrightarrow{O B}, \overrightarrow{O C})|=\frac{16}{3}$ ．
（2）．三角形 $A B C$ 的面积等于平行四边形 $A B C D$ 面积的一半，
$$
\overrightarrow{A B}=(0,-4,-8), \overrightarrow{A C}=(1,2,-1)
$$
所以， $\overrightarrow{A B} \times \overrightarrow{A C}=\left|\begin{array}{ccc}i & j & k \\ 0 & -4 & -8 \\ 1 & 2 & -1\end{array}\right|=20 i-8 j+4 k$ ，
从而，$|\overrightarrow{A B} \times \overrightarrow{A C}|=\sqrt{20^{2}+8^{2}+4^{2}}=4 \sqrt{30}$ ，
所以，三角形 $A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{30}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：体积用混合积绝对值除以6，面积用向量叉积模的一半，计算行列式和向量积。
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