北京大学真题 第20231题

4．解 （1）．$|\lambda E-A|=\lambda^{3}+\lambda^{2}-3 \lambda+2$ ． $a$ ．把 $A$ 看作有理数域上的矩阵． 先证 $f(\lambda)=\lambda^{3}+\lambda^{2}-3 \lambda+2$ 在有理数域上是不可约的．若不然，则它至少有一个一次因式，也即有有理根．但它的有理根只能为 $\pm 1, \pm 2$ ，而可以验算这些全不是它的根，因 而 $f(\lambda)$ 在有理数域上不可约． 另一方面，最小多项式 $m(\lambda) \mid f(\lambda)$ ，则 $m(\lambda)=f(\lambda)$ ，从而它在有理数域上不能分解成互素的一次因式的乘积，故把 $A$ 看作有理数域上的矩阵，$A$ 是不可对角化． $b$ ．把 $A$ 看作复数域上的矩阵。 这时，$f(\lambda)$ 是 $A$ 的特征多项式，且有 $\left(f(\lambda), f^{\prime}(\lambda)\right)=1$ ，即它在复数域上无重根，故 $m(A)$ 在复数域上无重根．从而，把 $A$ 看成复数域上的矩阵，$A$ 是可对角化的． （2）由在有理数域上 $A$ 合同与单位矩阵 $I$ ，知，存在有理数域上的可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{T} A P=I$. 从而 $$ \left(\begin{array}{cc} P^{T} & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} A & b \delta \\ b \delta^{T} & b \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} P & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} I & b P^{T} \delta \\ b \delta^{T} P & b \end{array}\right) . $$ 另一方面，$\left(\begin{array}{cc}I & 0 \\ -b \delta^{T} P & 1\end{array}\right)$ 是有理数域上的可逆矩阵，且有 $$ \left(\begin{array}{cc} I & 0 \\ -b \delta^{T} P & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} I & b P^{T} \delta \\ b \delta^{T} P & b \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} I & -b P^{T} \delta \\ 0 & 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} I & 0 \\ 0 & b-b^{2} \delta^{T} P P^{T} \delta \end{array}\right) $$ 从而有 $$ \left(\begin{array}{cc} A & b \delta \\ b \delta^{T} & b \end{array}\right) \simeq\left(\begin{array}{cc} I & 0 \\ 0 & b-b^{2} \delta^{T} A^{-1} \delta \end{array}\right) $$