北京大学真题 第20232题
📝 题目
5．（14 分）在实数域上的 $n$ 维列向量空间 $R^{n}$ 中，定义内积为 $(\alpha, \beta)=\alpha^{T} \beta$ ，从而 $R^{n}$ 成为欧几里的空间．
（1）．设实数域上的矩阵
$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
1 & -3 & 5 & -2 \\
-2 & 1 & -3 & 1 \\
-1 & -7 & 9 & -4
\end{array}\right)
$$
求齐次线性方程组 $A X=0$ 的解空间的一个正交基．
（2）设 $A$ 是实数域 $R$ 上的 $s \times n$ 矩阵，用 $W$ 表示齐次线性方程组 $A X=0$ 的解空间，用 $U$表示 $A^{T}$ 的列空间（即，$A^{T}$ 的列向量组成的子空间）。证明：$U=W^{\perp}$ ．
💡 答案解析
5．解
（1）对 $A$ 进行行初等变换
$$
\begin{aligned}
& A=\left(\begin{array}{cccc}
1 & -3 & 5 & -2 \\
-2 & 1 & -3 & 1 \\
-1 & -7 & 9 & -4
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{cccc}
1 & -3 & 5 & -2 \\
0 & -5 & 7 & -3 \\
0 & -10 & 14 & -6
\end{array}\right) \\
& \rightarrow\left(\begin{array}{cccc}
1 & -3 & 5 & -2 \\
0 & -5 & 7 & -3 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & \frac{4}{5} & -\frac{1}{5} \\
0 & 1 & -\frac{7}{5} & \frac{3}{5} \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)
\end{aligned}
$$
可求得基础解系
$$
\alpha_{1}=\left(\begin{array}{c}
-4 \\
7 \\
5 \\
0
\end{array}\right), \quad \alpha_{2}=\left(\begin{array}{c}
1 \\
-3 \\
0 \\
5
\end{array}\right) .
$$
正交化，
$$
\beta_{1}=\alpha_{1}, \beta_{2}=\alpha_{2}-\frac{\left(\alpha_{2}, \beta_{1}\right)}{\left(\beta_{1}, \beta_{1}\right)} \beta_{1}=\frac{1}{18}\left(\begin{array}{c}
-2 \\
-19 \\
25 \\
90
\end{array}\right) .
$$
（2）不妨设 $A^{T}=\left(\alpha_{1}, \cdots \alpha_{s}\right)$ ，则 $U=L\left(\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{s}\right)$ ．
对 $\forall \beta \in W$ ，有
$$
A \beta=\left(\begin{array}{c}
\alpha_{1}^{T} \\
\vdots \\
\alpha_{s}^{T}
\end{array}\right) \beta=\left(\begin{array}{c}
\alpha_{1}^{T} \beta \\
\vdots \\
\alpha_{s}^{T} \beta
\end{array}\right)=0,
$$
从而
$$
\alpha_{1}^{T} \beta=\cdots=\alpha_{s}^{T} \beta=0
$$
即 $\alpha_{i}^{T} \in W^{\perp}, i=1,2, \cdots, s$ ，从而 $U \subseteq W^{\perp}$ ．
另一方面，
$$
\operatorname{dim}(U)=r\left(A^{T}\right)=r(A)=n-(n-r(A))=n-\operatorname{dim}(W)=\operatorname{dim}\left(W^{\perp}\right),
$$
故，$U=W^{\perp}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：(1)解齐次方程组得基础解系，施密特正交化得正交基。(2)证明两个方向包含关系，利用矩阵乘法性质。
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