北京大学真题 第20233题
📝 题目
6．（12 分）设 $A$ 是数域 $K$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的一个线性变换．在 $K[x]$ 中，
$f(x)=f_{1}(x) f_{2}(x)$ ，且 $f_{1}(x), f_{2}(x)$ 互素．用 $\operatorname{KerA}$ 表示线性变换 $A$ 的核．证明：
$\operatorname{Kerf}(A)=\operatorname{Kerf}_{1}(A) \oplus \operatorname{Kerf}_{2}(A)$.
💡 答案解析
6．证
由 $f_{1}(x), f_{2}(x)$ 互素知，存在 $u(x), v(x) \in K[x]$ ，满足
$$
u(x) f_{1}(x)+v(x) f_{2}(x)=1
$$
即 $u(A) f_{1}(A)+v(A) f_{2}(A)=E$ ，
从而对 $\forall \alpha \in \operatorname{Kerf}(A)$ ，由
$$
\alpha=E \alpha=u(A) f_{1}(A) \alpha+v(A) f_{2}(A) \alpha=\alpha_{1}+\alpha_{2},
$$
其中，$\alpha_{1}=u(A) f_{1}(A) \alpha, \alpha_{2}=v(A) f_{2}(A) \alpha$ 。
于是，
$$
\begin{aligned}
& f_{1}(A) \alpha_{2}=v(A) f_{1}(A) f_{2}(A) \alpha=v(A) f(A) \alpha=0 \\
& f_{2}(A) \alpha_{1}=u(A) f_{2}(A) f_{1}(A) \alpha=u(A) f(A) \alpha=0
\end{aligned}
$$
即 $\alpha_{1} \in \operatorname{Kerf}_{2}(A), \alpha_{2} \in \operatorname{Kerf}_{1}(A)$.
另一方面，对 $\forall \alpha \in \operatorname{Kerf}_{1}(A) \cap \operatorname{Kerf}_{2}(A)$ ，
有
$$
\begin{gathered}
f_{1}(A) \alpha=0, f_{2}(A) \alpha=0 \\
\alpha=u(A) f_{1}(A) \alpha+v(x) f_{2}(A) \alpha=0
\end{gathered}
$$
从而， $\operatorname{Kerf}_{1}(A) \cap \operatorname{Kerf}_{2}(A)=\{0\}$ ，故 $\operatorname{Kerf}(A)=\operatorname{Kerf}_{1}(A) \oplus \operatorname{Kerf}_{2}(A)$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：由互素多项式存在u,v使uf1+vf2=1，对任意α∈Kerf(A)分解，证明直和。
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