北京大学真题 第20234题
📝 题目
7．（14 分）设 $A$ 是数域 $K$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的一个线性变换，$I$ 是恒等变换．证明： $A^{2}=A$ 的充要条件是 $r(A)+r(A-I)=n$ ．
💡 答案解析
7．证
记 $f(x)=x^{2}-x, f_{1}(x)=x, f_{2}(x)=x-1$ ，
则由上题知， $\operatorname{Kerf}(A)=\operatorname{Kerf}_{1}(A) \oplus \operatorname{Kerf}_{2}(A)$ ，
从而 $\operatorname{dim}(\operatorname{Kerf}(V))=\operatorname{dim}\left(\operatorname{Kerf}_{1}(V)\right)+\operatorname{dim}\left(\operatorname{Kerf}_{2}(V)\right)$ ，
而，
$$
\begin{aligned}
& A^{2}=A \Leftrightarrow f(A)=0 \Leftrightarrow \operatorname{Kerf}(A)=V \\
& \Leftrightarrow \operatorname{dim} V=\operatorname{dim}\left(\operatorname{Kerf}_{1}(V)\right)+\operatorname{dim}\left(\operatorname{Kerf}_{2}(V)\right) \\
& \Leftrightarrow n=n-r\left(f_{1}(A)\right)+n-r\left(f_{2}(A)\right) \\
& \Leftrightarrow n=r(A)+r(A-I)
\end{aligned}
$$
从而问题得证．
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：利用上题结论，由f(x)=x(x-1)，得V=Ker A⊕Ker(A-I)，再转化为秩的条件。
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