北京大学真题 第20235题
📝 题目
3．用正交变换化下面二次型为标准形
$$
f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-4 x_{1} x_{2}-4 x_{1} x_{3}-4 x_{2} x_{3} ;
$$
（要求写出正交变换的矩阵和相应的标准形）。
解：二次型矩阵：
$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & -2 & -2 \\
-2 & 1 & -2 \\
-2 & -2 & 1
\end{array}\right)
$$
找其正交矩阵：
$$
T=\left(\begin{array}{ccc}
-\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{\sqrt{6}}{4} & -\frac{2 \sqrt{2}}{3} \\
0 & -\frac{\sqrt{6}}{4} & -\frac{\sqrt{2}}{6} \\
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{\sqrt{6}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{6}
\end{array}\right) ;
$$
使得 $T^{-1} A T=\operatorname{diag}\{3,3,-3\}$ ；于是做正交替换化为标准型：
$$
f(x, y, z)=3 x^{*^{2}}+3 y^{*^{2}}-3 z^{*^{2}}
$$
💡 答案解析
3．用正交变换化下面二次型为标准形
$$
f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-4 x_{1} x_{2}-4 x_{1} x_{3}-4 x_{2} x_{3} ;
$$
（要求写出正交变换的矩阵和相应的标准形）。
解：二次型矩阵：
$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & -2 & -2 \\
-2 & 1 & -2 \\
-2 & -2 & 1
\end{array}\right)
$$
找其正交矩阵：
$$
T=\left(\begin{array}{ccc}
-\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{\sqrt{6}}{4} & -\frac{2 \sqrt{2}}{3} \\
0 & -\frac{\sqrt{6}}{4} & -\frac{\sqrt{2}}{6} \\
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{\sqrt{6}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{6}
\end{array}\right) ;
$$
使得 $T^{-1} A T=\operatorname{diag}\{3,3,-3\}$ ；于是做正交替换化为标准型：
$$
f(x, y, z)=3 x^{*^{2}}+3 y^{*^{2}}-3 z^{*^{2}}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：写出二次型矩阵，求特征值特征向量，正交化单位化得正交矩阵，写出标准形。
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