北京大学真题 第20236题
📝 题目
4．对任意的非负整数 n ，令 $f_{n}(x)=x^{n+2}-(x+1)^{2 n+1}$ ，证明：
$\left(x^{2}+x+1, f_{n}(x)\right)=1$.
分析：用带余除法及待定系数法不易证明，考虑采用因式定理来证明，且最大公因式不因数域的扩大而改变。
证 明：已知 $f(x)=x^{2}+x+1=0$ 的根是 $w_{1}=\frac{-1+\sqrt{3} i}{2}, w_{2}=\frac{-1-\sqrt{3} i}{2}$ ，所以 $x^{2}+x+1=\left(x-w_{1}\right)\left(x-w_{2}\right)$.
又由 $w_{i}^{3}=1$ ，知：将 $w_{1}, w_{2}$ 代入 $f_{n}(x)$ 中得：
$$
f_{n}\left(w_{i}\right)=w_{i}^{n+2}-\left(w_{i}+1\right)^{2 n+1}=w_{i}^{n+2}-\left(-w_{i}^{2}\right)^{2 n+1}=w_{i}^{n+2}\left(1+w_{i}^{3 n}\right)=w_{i}^{n+2} \neq 0,
$$
所以 $\left(x-w_{1}\right)\left(x-w_{2}\right) \backslash f_{n}(x)$ ，即 $\left(x^{2}+x+1, f_{n}(x)\right)=1$ ．
💡 答案解析
4．对任意的非负整数 n ，令 $f_{n}(x)=x^{n+2}-(x+1)^{2 n+1}$ ，证明：
$\left(x^{2}+x+1, f_{n}(x)\right)=1$.
分析：用带余除法及待定系数法不易证明，考虑采用因式定理来证明，且最大公因式不因数域的扩大而改变。
证 明：已知 $f(x)=x^{2}+x+1=0$ 的根是 $w_{1}=\frac{-1+\sqrt{3} i}{2}, w_{2}=\frac{-1-\sqrt{3} i}{2}$ ，所以 $x^{2}+x+1=\left(x-w_{1}\right)\left(x-w_{2}\right)$.
又由 $w_{i}^{3}=1$ ，知：将 $w_{1}, w_{2}$ 代入 $f_{n}(x)$ 中得：
$$
f_{n}\left(w_{i}\right)=w_{i}^{n+2}-\left(w_{i}+1\right)^{2 n+1}=w_{i}^{n+2}-\left(-w_{i}^{2}\right)^{2 n+1}=w_{i}^{n+2}\left(1+w_{i}^{3 n}\right)=w_{i}^{n+2} \neq 0,
$$
所以 $\left(x-w_{1}\right)\left(x-w_{2}\right) \backslash f_{n}(x)$ ，即 $\left(x^{2}+x+1, f_{n}(x)\right)=1$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：利用x^2+x+1的根为单位根，代入验证f_n(x)不为零，故无公共根，互素。
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