北京大学真题 第20237题

5．设正整数 $\mathrm{n} \geq 2$ ，用 $M_{n}(k)$ 表示数域 k 上全体 $\mathrm{n} \times \mathrm{n}$ ，矩阵关于矩阵加法和数乘所构成的 k上的线性空间。在 $M_{n}(k)$ 中定义变换 $\sigma$ 如下： $\sigma\left(\left(a_{i j}\right)_{n \times n}\right)=\left(a_{i j}^{\prime}\right)_{n \times n}, \forall\left(a_{i j}\right)_{n \times n} \in M_{n}(k)$, 其中：$a_{i j}^{\prime}=\left\{\begin{array}{l}a_{i j}, i \neq j ; \\ i \cdot \operatorname{tr}(A), i=j .\end{array}\right.$ （1）证明：$\sigma$ 是 $M_{n}(k)$ 上的线性变换； （2）求出： $\operatorname{ker}(\sigma)$ 的维数与一组基； （3）求出：$\sigma$ 的全部特征子空间． 证明： （1）$\forall\left(a_{i j}\right)_{n \times n},\left(b_{i j}\right)_{n \times n} \in M_{n}(\mathrm{k}), \mathrm{k} \in K$ ，则 $\sigma\left(\left(a_{i j}\right)_{n \times n}+\left(b_{i j}\right)_{n \times n}\right)=\sigma\left(\left(\left(a_{i j}+b_{i j}\right)_{n \times n}^{\prime}\right)=\sigma\left(\left(a_{i j}\right)_{n \times n}\right)+\sigma\left(\left(b_{i j}\right)_{n \times n}\right)\right.$ ； $\sigma\left(k\left(a_{i j}\right)_{n \times n}\right)=\sigma\left(\left(k a_{i j}\right)_{n \times n}\right)=\left(k a_{i j}\right)_{n \times n}^{\prime}=k\left(a_{i j}\right)_{n \times n}^{\prime}=k \sigma\left(\left(a_{i j}\right)_{n \times n}\right)$ ； $\therefore \sigma$ 线性变换。 （2）$\sigma\left(\left(a_{i j}\right)_{n \times n}\right)=0 \Rightarrow\left(a_{i j}\right)_{n \times n}^{\prime}=0 \Rightarrow a_{i j}^{\prime}=\left\{\begin{array}{l}a_{i j}=0, i \neq j ; \\ i \cdot \operatorname{tr}(A)=0, i=j . \Rightarrow \operatorname{tr}(A)=0 ;\end{array}\right.$ ； $\therefore \operatorname{ker}(\sigma)$ 的维数是 $n-r$ 维， 基为：$\alpha_{1}=\operatorname{diag}(1,-1,0, \cdots, 0), \alpha_{2}=\operatorname{diag}(1,0,-1,0, \cdots, 0), \cdots, \alpha_{n-1}=\operatorname{diag}(1,0, \cdots, 0,-1)$ 。 （3）取 $M_{n}(\mathrm{k})$ 中的标准基（ $\mathrm{e}_{11}, \mathrm{e}_{12}, \cdots, \mathrm{e}_{\mathrm{nn}}$ ）， 在这组基下的变换矩阵的特征值 $\lambda_{1}=1, \lambda_{2}=2, \lambda_{3}=\frac{n(n+1)}{2}$ ， 对应的特征子空间的维数分别为：$n^{2}-n, n-1,1$ ． 对应的特征子空间的分别为： $<\mathrm{e}_{\mathrm{ij}}>_{\mathrm{i} \neq \mathrm{j}},<\mathrm{e}_{11}-\mathrm{e}_{22}, \mathrm{e}_{11}-\mathrm{e}_{33}, \cdots, \mathrm{e}_{11}-\mathrm{e}_{\mathrm{nn}}>,<\mathrm{e}_{11}+2 \mathrm{e}_{22}+\cdots+n \mathrm{e}_{\mathrm{nn}}>$ 。 证毕。