北京大学真题 第20238题

6．用 R 表示实数域，定义 $R^{n}$ 的映射 $f$ 如下： $f(X)=\left|x_{1}\right|+\cdots+\left|x_{r}\right|-\left|x_{r+1}\right|-\cdots-\left|x_{r+s}\right|, \forall X=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)^{T} \in R^{n}$ ，其中：$r \geq s \geq 0$ 。证明： （1）存在的一个 $\mathrm{n}-\mathrm{r}$ 维子空间 W ，使得 $f(X)=0, \forall X \in W$ ； （2）若 $W_{1}, W_{2}$ 是 $R^{n}$ 的两个 $\mathrm{n}-\mathrm{r}$ 维子空间，且满足 $f(X)=0, \forall X \in W_{1} \cup W_{2}$ ，则一定有 $\operatorname{dim}\left(W_{1} \cap W_{2}\right) \geq n-(r+s)$. 证明： （1）只需构造 $n-r$ 个线性无关的向量满足方程。 不妨设 $R^{n}=R^{r+s} \oplus R^{n-(r+s)}$ ， 在 $R^{r+s}$ 中存在一组由 s 个线性无关的向量 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{\mathrm{s}}$ 构成的子空间 满足方程，其中 $\alpha_{1}=(\underbrace{1,0, \cdots, 0}_{r}, \underbrace{1,0, \cdots, 0}_{s}, \underbrace{0, \cdots, 0}_{\mathrm{n}^{-(\mathrm{r}+\mathrm{s})}}), \cdots \alpha_{\mathrm{s}}=(\underbrace{\overbrace{0,0, \cdots 0}^{s}, 1}_{r}, 0, \cdots, 0, \underbrace{0,0, \cdots, 1}_{s}, \underbrace{0, \cdots, 0}_{\mathrm{n}^{-(\mathrm{r}+\mathrm{s})}})$ ， 在 $R^{n-(r+s)}$ 中存在一组由 $\mathrm{n}-(\mathrm{r}+\mathrm{s})$ 个线性无关的向量 $\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{\mathrm{n}^{-}(\mathrm{r}+\mathrm{s})}$ 构成的子空间 满足方程，其中 $\beta_{1}=(\underbrace{0, \cdots, 0}_{\mathrm{r}+\mathrm{s}}, \underbrace{1,0, \cdots, 0}_{n-(r+s)}), \cdots \beta_{\mathrm{n}-(\mathrm{r}+\mathrm{s})}=(\underbrace{0, \cdots, 0}_{\mathrm{r}+\mathrm{s}}, \underbrace{0,0, \cdots, 1}_{n-(r+s)})$ ， $\therefore \exists n-r$ 维的子空间 $W=<\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{\mathrm{s}}>\oplus<\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{\mathrm{n}^{-(\mathrm{r}+\mathrm{s})}}>$ $=<\alpha_{1}, \quad \alpha_{2}, \cdots, \quad \alpha_{\mathrm{s}}, \quad \beta_{1}, \quad \beta_{2}, \cdots, \quad \beta_{\mathrm{n}^{-}(\mathrm{r}+\mathrm{s})}>$ 。 （2）依题意：$W_{1}, W_{2}$ 满足方程 $f(X)=0$ ， 显然 $W_{1} \cap W_{2}$ 是 $\mathrm{R}^{\mathrm{n}}$ 的一个子空间也满足方程 $f(X)=0$ ， 所以只需证明满足方程 $f(X)=0$ 的最小子空间的维数为 $\mathrm{n}-(\mathrm{r}+\mathrm{s})$ 。