北京大学真题 第20239题

7．设 V 是数域 K 上的 n 维线性空间，$V_{1}, \cdots, V_{s}$ 是 V 的 S 个真子空间，证明： （1）存在 $\alpha \in V$ ，使得 $\alpha \notin V_{1} \cup V_{2} \cup \cdots \cup V_{S}$ ． （2）存在 V 中的一组基 $\varepsilon_{1}, \cdots, \varepsilon_{n}$ ，使得： $\left\{\varepsilon_{1}, \cdots, \varepsilon_{n}\right\} \cap\left(V_{1} \cup V_{2} \cup \cdots \cup V_{s}\right)=\phi$. 证明：可以用数学归纳法。 （1） i）当 $s=2$ 时，$\exists \alpha, \beta \in V$ ，且 $\alpha \notin V_{1}, \alpha \in V_{2}, \beta \notin V_{2}, \beta \in V_{1}$ ，否则命题成立； 若 $\alpha+\beta \in V_{1}$ ，由于 $\beta \in V_{1} \Rightarrow \alpha \in V_{1}$ ，矛盾； $\therefore \alpha+\beta \notin V_{1}$ ；同理可得：$\alpha+\beta \notin V_{2}$ ； ∴ 命题成立； ii）设 $\mathrm{s}=\mathrm{k}$ 成立，对 $\mathrm{s}=\mathrm{k}+1$ 时，至少 $\exists \alpha \notin V_{1} \cup V_{2} \cup \cdots V_{k}$ ， 如果 $\alpha \notin V_{k+1}$ ，则命题成立； 如果 $\alpha \in V_{k+1}$ ，取 $\beta \notin V_{k+1}$ ， 则 $\alpha+\beta, 2 \alpha+\beta, \cdots,(\mathrm{k}+1) \alpha+\beta$ ， 共 $\mathrm{k}+1$ 项，必有一个向量不属于 $V_{i}$ ， 否则有两个向量属于同一个 $V_{i}$ ， 这两向量差为 $\mathrm{m} \alpha \in V_{i}$ ，矛盾； 不妨设 $\gamma=1 \alpha+\beta \notin V_{1} \cup V_{2} \cup \cdots V_{s}$ ， 则 $\gamma \notin V_{\mathrm{k}+1}$ ，否则 $\beta \in V_{k+1}$ ，矛盾； 所以命题成立。 （2） 由（1）知， $\exists \varepsilon_{1} \in V$ ，且 $\varepsilon_{1} \notin V_{1} \cup V_{2} \cup \cdots \cup V_{s}$ ，设 $V_{s+1}=L\left(\varepsilon_{1}\right)$ ， 再由（1）得：$\exists \varepsilon_{2} \in V$ ，且 $\varepsilon_{2} \notin V_{1} \cup V_{2} \cup \cdots \cup V_{s} \cup V_{s+1}$ ， 则 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}$ 线性无关，设 $V_{s+2}=L\left(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}\right)$ ， 同理，一直这样取值下去， $\exists n$ 个线性无关的 $\varepsilon_{i} \notin V_{1} \cup V_{2} \cup \cdots \cup V_{s}$ ，即 $\exists V$ 中的一组基 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{\mathrm{n}}$ ，使得 $\left\{\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{\mathrm{n}}\right\} \cap\left(V_{1} \cup V_{2} \cup \cdots \cup V_{s}\right)=\phi$ 证毕。