北京大学真题 第20256题

1、回答下列问题： （1）问是否存在 $n$ 阶方阵 $A, B$ ，满足 $A B-B A=E$（单位矩阵）？又，是否存在 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换 $\mathbf{A}, \mathbf{B}$ ，满足 $\mathbf{A B}-\mathbf{B A}=\mathbf{E}$（恒等变换）？若是，举出例子；若否，给出证明． 【解】否，下面给予证明．对于任意 $n$ 阶方阵 $A, B$ ，若 $A B-B A=E$ ，则两边取矩阵的迹，并注意到 $\operatorname{tr}(A B)=\operatorname{tr}(B A)$ ，得 $0=n$ ，矛盾．所以不存在方阵 $A, B$ ，使 $A B-B A=E$ ． 对于线性空间 $V$ 的线性变换 $\mathbf{A}, \mathbf{B}$ ，任取 $V$ 的一个基，并设 $\mathbf{A}, \mathbf{B}$ 在这个基下的矩阵分别为 $A, B$ ，若 $\mathbf{A B}-\mathbf{B A}=\mathbf{E}$ ，则相应的有 $A B-B A=E$ ，矛盾．所以不存在 $n$ 维线性空 间 $V$ 上的线性变换 $\mathbf{A}, \mathbf{B}$ ，满足 $\mathbf{A B}-\mathbf{B A}=\mathbf{E}$ ． 【注】若线性空间 $V$ 是无穷维的，则存在 $V$ 的线性变换 $\mathbf{A}, \mathbf{B}$ ，满足 $\mathbf{A B}-\mathbf{B A}=\mathbf{E}$ ．例如，设 $V=P[x]$ 是数域 $P$ 上多项式全体所构成的线性空间，定义 $$ \mathbf{A} f(x)=f^{\prime}(x), \mathbf{B} f(x)=x f(x), \forall f(x) \in V, $$ 容易验证： $\mathbf{A B}-\mathbf{B A}=\mathbf{E}$ ． （2）设 $n$ 阶矩阵 $A$ 的各行元素之和为常数 $c$ ，则 $A^{3}$ 的各行元素之和是否为常数？若是， 是多少？说明理由． 【解】是．设 $\eta=(1,1, \cdots, 1)^{\mathrm{T}}$ 是 $n$ 维列向量，则由 $A$ 的各行元素之和为常数 $c$ ，知 $A \eta=c \eta$ ，从而 $A^{3} \eta=c^{3} \eta$ ．所以 $A^{3}$ 的各行元素之和为常数 $c^{3}$ ． （3）设 $m \times n$ 矩阵 $A$ 的秩为 $r$ ，任取 $A$ 的 $r$ 个线性无关的行向量，再取 $A$ 的 $r$ 个线性无关的列向量，组成的 $r$ 阶子式是否一定不为 0 ？若是，给出证明；若否，举出反例． 【解】是．不妨考虑 $A$ 的后 $r$ 个线性无关的行向量及后 $r$ 个线性无关的列向量，所组成的 $r$ 阶子式记为 $D$ 。假设 $D=0$ ，则仅对 $A$ 的后 $r$ 行施行初等行变换，可得 $$ A \rightarrow\left(\begin{array}{cc} B & C \\ \alpha & 0 \end{array}\right)=H $$ 其中 $B$ 是 $(m-1) \times(n-r)$ 矩阵，$C$ 是 $(m-1) \times r$ 矩阵，$\alpha$ 是 $n-r$ 维行向量。根据初等行变换不改变矩阵的秩且不改变列向量之间的线性相关性，知 $\operatorname{rank}(C)=r$ ，且 $\alpha \neq 0$ ．于是有 $$ \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(H) \geq \operatorname{rank}(C)+\operatorname{rank}(\alpha)=r+1, $$ 矛盾．所以 $D \neq 0$ ． （4）设 $A, B$ 都是 $m \times n$ 矩阵，线性方程组 $A X=0$ 与 $B X=0$ 同解，则 $A$ 与 $B$ 的列向 量组是否等价？行向量组是否等价？若是，给出证明；若否，举出反例． 【解】第 1 个结论不成立，反例如下：若 $A=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & 0\end{array}\right)$ ，则线性方程组 $A X=0$ 与 $B X=0$ 同解，但 $A$ 与 $B$ 的列向量组显然不等价． 第 2 个结论成立，兹证明如下：依题意，线性方程组 $A X=0$ 与 $B X=0$ 同解，所以 $\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(B)$ 。记 $r=n-\operatorname{rank}(A)$ ，任取 $A X=0$ 的一个基础解系（当然也是 $B X=0$的基础解系）构成 $n \times r$ 矩阵 $C$ ，则 $\operatorname{rank}(C)=r$ ，且 $A C=O, B C=O$ ． 考虑齐次线性方程组 $C^{\mathrm{T}} X=0$ ，其解空间 $S$ 的维数 $\operatorname{dim}(S)=n-r=\operatorname{rank}(A)$ 。 因为 $C^{\mathrm{T}} A^{\mathrm{T}}=O$ ，所以 $A$ 的行向量都是 $C^{\mathrm{T}} X=0$ 的解，因此 $A$ 的行空间 $W_{A}$ 是 $S$ 的一个子空间，即 $W_{A} \subseteq S$ ．注意到 $\operatorname{dim}\left(W_{A}\right)=\operatorname{rank}(A)=\operatorname{dim}(S)$ ，故 $W_{A}=S$ ． 同理可证，$B$ 的行空间 $W_{B}=S$ ．于是有 $W_{A}=W_{B}$ ，这就表明 $A$ 与 $B$ 的行向量组等价． 【注】若 $A X=0$ 与 $B X=0$ 都仅有零解，则 $\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(B)=n$ ，仍是第 1 个结论不成立（反例从略），第2个结论成立．事实上，此时存在 $m$ 阶可逆矩阵 $P_{1}, P_{2}$ ，使得 $P_{1} A=\binom{E_{n}}{O}, P_{2} B=\binom{E_{n}}{O}$ ，令 $P=P_{2}^{-1} P_{1}$ ，则 $P$ 是可逆矩阵，且 $P A=B$ 。由此容易证明， $A$ 与 $B$ 的行向量组等价． （5）把实数域 $\mathbf{R}$ 看成有理数域 $\mathbf{Q}$ 上的线性空间，$b=p^{3} q^{2} r$ ，这里的 $p, q, r \in \mathbf{Q}$ 是互不相同的素数．判断向量组 $1, \sqrt[n]{b}, \sqrt[n]{b^{2}}, \cdots, \sqrt[n]{b^{n-1}}$ 是否线性相关？说明理由． 【解】向量组 $1, \sqrt[n]{b}, \sqrt[n]{b^{2}}, \cdots, \sqrt[n]{b^{n-1}}$ 是线性无关的，可用反证法证之．若不然，则存在不全为零的 $k_{0}, k_{1}, \cdots, k_{n-1} \in Q$ ，使得 $$ k_{0} 1+k_{1} \sqrt[n]{b}+k_{2} \sqrt[n]{b^{2}}+\cdots+k_{n-1} \sqrt[n]{b^{n-1}}=0 $$ 这就是说，$B=\sqrt[n]{b}$ 是非零的有理系数多项式 $f(x)=k_{0}+k_{1} x+\cdots+k_{n-1} x^{n-1}$ 的根，即 $$ f(B)=k_{0}+k_{1} B+\cdots+k_{n-1} B^{n-1}=0 $$ 另一方面，对于整系数多项式 $g(x)=x^{n}-b$ ，显然有 $g(B)=0$ ，即 $B$ 是多项式 $g(x)$ 的根．取素数 $r$ ，利用 Eisenstein 判别法，易知 $g(x)$ 在有理数域 $\mathbf{Q}$ 上不可约，这就是说，不存在非零的次数更低 $(\leq n-1)$ 的有理系数多项式 $h(x)$ ，使得 $h(B)=0$ ，矛盾． 因此，向量组 $1, \sqrt[n]{b}, \sqrt[n]{b^{2}}, \cdots, \sqrt[n]{b^{n-1}}$ 是线性无关的．