北京大学真题 第20257题
📝 题目
2、设 $n$ 阶矩阵 $A, B$ 可交换，证明： $\operatorname{rank}(A+B) \leq \operatorname{rank}(A)+\operatorname{rank}(B)-\operatorname{rank}(A B)$ ．
【解】利用分块初等变换，有
$$
\left(\begin{array}{ll}
A & O \\
O & B
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ll}
A & B \\
O & B
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{cc}
A+B & B \\
B & B
\end{array}\right)
$$
因为 $A B=B A$ ，所以
$$
\left(\begin{array}{cc}
E & O \\
B & -A-B
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
A+B & B \\
B & B
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
A+B & B \\
O & -A B
\end{array}\right)
$$
于是，有
$$
\operatorname{rank}(A)+\operatorname{rank}(B)=\operatorname{rank}\left(\begin{array}{cc}
A+B & B \\
B & B
\end{array}\right) \geq \operatorname{rank}\left(\begin{array}{cc}
A+B & B \\
O & -A B
\end{array}\right) \geq \operatorname{rank}(A+B)+\operatorname{rank}(A B)
$$
即 $\operatorname{rank}(A+B) \leq \operatorname{rank}(A)+\operatorname{rank}(B)-\operatorname{rank}(A B)$ ．
💡 答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：利用分块初等变换和AB=BA，化矩阵为( A+B B; O -AB )，比较秩。
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