北京大学真题 第20258题

3、设 $f$ 为线性空间 $V$ 上的双线性函数，且对任意的 $\alpha, \beta, \gamma \in V$ 都有 $$ f(\alpha, \beta) f(\gamma, \alpha)=f(\beta, \alpha) f(\alpha, \gamma) . $$ 求证 ：$f$ 为对称的或反对称的． （1）若 $\forall \eta \in V$ ，都有 $f(\eta, \eta)=0$ ，则 $\forall \alpha, \beta$ ，有 $f(\alpha-\beta, \alpha-\beta)=0$ ，从而有 $$ f(\alpha, \alpha)-f(\alpha, \beta)-f(\beta, \alpha)+f(\beta, \beta)=0, $$ 所以 $f(\alpha, \beta)=-f(\beta, \alpha)$ ，即 $f$ 为反对称的． （2）若 $\exists \eta_{0} \in V$ ，使得 $f\left(\eta_{0}, \eta_{0}\right) \neq 0$ ，则由题设条件有 $$ f\left(\xi, \eta_{0}\right)=f\left(\eta_{0}, \xi\right), \forall \xi \in V . $$ 现任取 $\alpha, \beta \in V$ ，若 $f\left(\alpha, \eta_{0}\right) \neq 0$ ，则有 $f(\alpha, \beta)=f(\beta, \alpha)$ ；若 $f\left(\alpha, \eta_{0}\right)=0$ ，则 $$ f\left(\alpha+\eta_{0}, \eta_{0}\right)=f\left(\alpha, \eta_{0}\right)+f\left(\eta_{0}, \eta_{0}\right)=f\left(\eta_{0}, \eta_{0}\right) \neq 0 $$ 所以 $f\left(\alpha+\eta_{0}, \beta\right)=f\left(\beta, \alpha+\eta_{0}\right)$ ，即 $f(\alpha, \beta)+f\left(\eta_{0}, \beta\right)=f(\beta, \alpha)+f\left(\beta, \eta_{0}\right)$ ，从而也有 $f(\alpha, \beta)=f(\beta, \alpha)$ ．因此 $f$ 为对称双线性函数．