北京大学真题 第20259题
📝 题目
4、设 $V$ 是欧几里德空间，$U$ 是 $V$ 的子空间，$\beta \in U$ ．求证：$\beta$ 是 $\alpha \in V$ 在 $U$ 上的正交投影的充分必要条件为：$\forall \gamma \in U$ ，都有 $|\alpha-\beta| \leq|\alpha-\gamma|$ ．
【解】必要性．设 $\beta$ 是 $\alpha$ 在 $U$ 上的正交投影，则存在 $\xi \in U^{\perp}$ ，使 $\alpha=\beta+\xi . \forall \gamma \in U$ ，因为 $\beta-\gamma \in U$ ，所以 $(\alpha-\beta, \beta-\gamma)=(\xi, \beta-\gamma)=0$ ，故由勾股定理，得
$$
\left.|\alpha-\gamma|^{2}=|(\alpha-\beta)+(\beta-\gamma)|^{2}=|\alpha-\beta|^{2}+\mid \beta-\gamma\right)\left.\right|^{2} \geq|\alpha-\beta|^{2}
$$
即 $|\alpha-\beta| \leq|\alpha-\gamma|$ ．
充分性．设 $\forall \gamma \in U$ ，都有 $|\alpha-\beta| \leq|\alpha-\gamma|$ ，下证 $\beta \in U$ 是 $\alpha$ 在 $U$ 上的正交投影．为此，设 $\beta_{1}$ 是 $\alpha$ 在 $U$ 上的正交投影，则由已证得的必要性及题设条件知
$$
\left|\alpha-\beta_{1}\right| \leq|\alpha-\beta| \leq\left|\alpha-\beta_{1}\right|,
$$
所以 $|\alpha-\beta|=\left|\alpha-\beta_{1}\right|$ 。注意到 $\alpha-\beta_{1} \in U^{\perp}, ~ \beta_{1}-\beta \in U$ ，根据勾股定理得
$$
|\alpha-\beta|^{2}=\left|\left(\alpha-\beta_{1}\right)+\left(\beta_{1}-\beta\right)\right|^{2}=\left|\alpha-\beta_{1}\right|^{2}+\left|\beta_{1}-\beta\right|^{2} .
$$
因此，$\left|\beta_{1}-\beta\right|=0$ ，即 $\beta=\beta_{1}$ 是 $\alpha$ 在 $U$ 上的正交投影。
💡 答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：必要性：将α分解为β+ξ，利用勾股定理得|α-γ|²=|α-β|²+|β-γ|²≥|α-β|²；充分性：反证法，设β不是正交投影，利用正交投影的唯一性导出矛盾。
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