北京大学真题 第20260题
📝 题目
5、设 $n$ 阶复矩阵 $A$ 满足：对于任意正整数 $k$ ，都有 $\operatorname{tr}\left(A^{k}\right)=0$ ．求 $A$ 的特征值．
【解】设 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$ 是 $A$ 的全部特征值，则 $A$ 的特征多项式为
$$
\Delta(\lambda)=\left(\lambda-\lambda_{1}\right)\left(\lambda-\lambda_{2}\right) \cdots\left(\lambda-\lambda_{n}\right)=\lambda^{n}-\sigma_{1} \lambda^{n-1}+\sigma_{2} \lambda^{n-2}-\cdots+(-1)^{n} \sigma_{n}
$$
其中 $\sigma_{k}$ 是 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$ 的 $k$ 次初等对称多项式 $(1 \leq k \leq n)$ ．
因为 $\lambda_{1}^{k}, \lambda_{2}^{k}, \cdots, \lambda_{n}^{k}$ 是 $A^{k}$ 的全部特征值，所以
$$
s_{k}=\lambda_{1}^{k}+\lambda_{2}^{k}+\cdots+\lambda_{n}^{k}=\operatorname{tr}\left(A^{k}\right)=0, k=1,2, \cdots .
$$
对于 $1 \leq k \leq n$ ，利用牛顿（Newton）公式
$$
s_{k}-\sigma_{1} s_{k-1}+\sigma_{2} s_{k-2}-\cdots+(-1)^{k-1} \sigma_{k-1} s_{1}+(-1)^{k} k \sigma_{k}=0
$$
可得 $\sigma_{k}=0$ ，从而有 $\Delta(\lambda)=\lambda^{n}$ ．因此，$A$ 的特征值 $\lambda_{1}=\lambda_{2}=\cdots=\lambda_{n}=0$ ．
💡 答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：设特征值λ_i，由迹条件得幂和s_k=0，通过牛顿公式推出所有初等对称多项式为0，从而特征多项式为λ^n，特征值全为0。
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