北京大学真题 第20261题

6、设 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换 $\mathbf{A}$ 的最小多项式与特征多项式相同。求证：$\exists \alpha \in V$ ，使得 $\alpha, A \alpha, A^{2} \alpha, \cdots, A^{n-1} \alpha$ 为 $V$ 的一个基． 【解】据题设，设 $\mathbf{A}$ 的最小多项式与特征多项式同为 $$ d_{n}(\lambda)=\lambda^{n}+b_{n-1} \lambda^{n-1}+\cdots+b_{1} \lambda+b_{0}, $$ 则 $\mathbf{A}$ 的前 $n-1$ 个不变因子为 $1,1, \cdots, 1$ ，第 $n$ 个不变因子为 $d_{n}(\lambda)$ 。容易知道，矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{ccccc} 0 & & & & -b_{0} \\ 1 & \ddots & & & -b_{1} \\ & \ddots & \ddots & & \vdots \\ & & \ddots & 0 & -b_{n-2} \\ & & & 1 & -b_{n-1} \end{array}\right) $$ 的不变因子也为 $1,1, \cdots, 1, d_{n}(\lambda)$ ，所以存在 $V$ 的一个基 $\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n}$ ，使得 $\mathbf{A}$ 在这个基下的矩阵为 $A$ ，即 $$ \mathbf{A}\left(\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n}\right)=\left(\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n}\right) A $$ 现在令 $\alpha=\xi_{1} \in V$ ，则 $A \alpha=\xi_{2}, A^{2} \alpha=\xi_{3}, \cdots, A^{n-1} \alpha=\xi_{n}$ ，因此 $\alpha, A \alpha, A^{2} \alpha, \cdots, A^{n-1} \alpha$ 为 $V$ 的一个基．