北京大学真题 第20262题
📝 题目
7、设 $P$ 是球内一定点，$A, B, C$ 是球面上三动点．$\angle A P B=\angle B P C=\angle C P A=\frac{\pi}{2}$ ．以 $P A, P B, P C$ 为棱作平行六面体，记与 $P$ 相对的顶点为 $Q$ ，求 $Q$ 点的轨迹．
【解】设球的中心为 $O$ ，半径为 $r,|\overrightarrow{O P}|=d$ ，则由 $\overrightarrow{O A}=\overrightarrow{O P}+\overrightarrow{P A}$ 得
$$
r^{2}=d^{2}+2 \overrightarrow{O P} \cdot \overrightarrow{P A}+|\overrightarrow{P A}|^{2}
$$
同理，由 $\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{O P}+\overrightarrow{P B}$ 及 $\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{O P}+\overrightarrow{P C}$ 可得
$$
\begin{aligned}
& r^{2}=d^{2}+2 \overrightarrow{O P} \cdot \overrightarrow{P B}+|\overrightarrow{P B}|^{2} \\
& r^{2}=d^{2}+2 \overrightarrow{O P} \cdot \overrightarrow{P C}+|\overrightarrow{P C}|^{2}
\end{aligned}
$$
将以上三式相加，得
$$
💡 答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：用向量表示PA、PB、PC，代入球面方程得三式，相加后利用角度条件消去交叉项，得到关于PQ的表达式，推出Q的轨迹为球面。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。