北京大学真题 第20263题
📝 题目
8、设直线 $L$ 的方程为
$$
\left\{\begin{array}{l}
A_{1} x+B_{1} y+C_{1} z+D_{1}=0 \\
A_{2} x+B_{2} y+C_{2} z+D_{2}=0
\end{array}\right.
$$
（1）过原点；（2）平行于 $x$ 轴，但不与 $x$ 轴重合；（3）与 $y$ 轴相交；（4）与 $z$ 轴重合．
【解】（1）将原点 $(0,0,0)$ 的坐标代入直线 $L$ 的方程，得 $D_{1}=D_{2}=0$ ．
（2）因为 $L$ 平行于 $x$ 轴，所以 $x$ 轴方向的向量 $(1,0,0)$ 与向量 $\left(A_{1}, B_{1}, C_{1}\right)$ 和 $\left(A_{2}, B_{2}, C_{2}\right)$都垂直，由此得 $A_{1}=A_{2}=0$ ．但 $L$ 与 $x$ 轴不重合，所以 $D_{1} \neq 0$ 或 $D_{2} \neq 0$ 至少有一个成立．
（3）设 $\left(0, y_{0}, 0\right)$ 是 $L$ 与 $y$ 轴的交点，则 $y_{0} \neq 0$ ，否则为情形（1）。代入 $L$ 的方程，得
$$
B_{1} y_{0}+D_{1}=0, B_{2} y_{0}+D_{2}=0
$$
于是有 $\frac{B_{1}}{B_{2}}=\frac{D_{1}}{D_{2}}$ ．
（4）由（1）与（2）的解即知，$L$ 与 $z$ 轴重合当且仅当 $C_{1}=C_{2}=D_{1}=D_{2}=0$ ．
💡 答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：根据几何条件转化为线性方程系数约束：过原点则常数项为0；平行x轴则x系数为0；与y轴相交则满足线性关系；与z轴重合则x、y系数及常数项均为0。
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