北京大学真题 第20264题

9、证明双曲抛物面 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=2 z$ 的相互垂直的直母线的交点在双曲线上． 【解】设 $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 是所给双曲抛物面上相互垂直的直母线 $$ L_{1}:\left\{\begin{array}{l} \frac{x}{a}-\frac{y}{b}=2 \lambda, \\ \lambda\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\right)=z \end{array} \quad \text { 与 } \quad L_{2}:\left\{\begin{array}{l} \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=2 \mu, \\ \mu\left(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}\right)=z \end{array}\right.\right. $$ 的交点，则 $$ \frac{x_{0}}{a}-\frac{y_{0}}{b}=2 \lambda \text {, 且 } \frac{x_{0}}{a}+\frac{y_{0}}{b}=2 \mu \text {. } $$ 易知，$L_{1}$ 与 $L_{2}$ 的方向向量分别为 $$ \begin{aligned} & \overrightarrow{\tau_{1}}=\left(\frac{1}{b}, \frac{1}{a}, \frac{2 \lambda}{a b}\right)=\left(\frac{1}{b}, \frac{1}{a}, \frac{1}{a b}\left(\frac{x_{0}}{a}-\frac{y_{0}}{b}\right)\right) \\ & \overrightarrow{\tau_{2}}=\left(\frac{1}{b},-\frac{1}{a}, \frac{2 \mu}{a b}\right)=\left(\frac{1}{b},-\frac{1}{a}, \frac{1}{a b}\left(\frac{x_{0}}{a}+\frac{y_{0}}{b}\right)\right) \end{aligned} $$ 因为 $L_{1}$ 与 $L_{2}$ 相互垂直，所以 $\overrightarrow{\tau_{1}} \cdot \overrightarrow{\tau_{2}}=0$ ，由此即得 $$ \frac{1}{b^{2}}-\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{a^{2} b^{2}}\left(\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}}-\frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}\right)=0 \text {, 或 } a^{2}-b^{2}+\left(\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}}-\frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}\right)=0 \text {. } $$ 注意到点 $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 在所给双曲抛物面上，因此有 $$ \left\{\begin{array} { l } { \frac { x _ { 0 } ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y _ { 0 } ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 2 z _ { 0 } , } \\ { \frac { x _ { 0 } ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y _ { 0 } ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = b ^ { 2 } - a ^ { 2 } , } \end{array} \text { 即 } \left\{\begin{array}{l} \frac{x_{0}^{2}}{a^{2}}-\frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}=2 z_{0}, \\ z_{0}=\frac{1}{2}\left(b^{2}-a^{2}\right) . \end{array}\right.\right. $$ 于是，两条相互垂直的直母线 $L_{1}$ 与 $L_{2}$ 的交点 $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 位于下列双曲线上： $$ \left\{\begin{array}{l} \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=2 z \\ z=\frac{1}{2}\left(b^{2}-a^{2}\right) \end{array}\right. $$ 【注】特别，若 $a=b$ ，则 $L_{1}$ 与 $L_{2}$ 的交点 $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 位于下述两条相交直线上： $$ \left\{\begin{array} { l } { x + y = 0 , } \\ { z = 0 , } \end{array} \text { 与 } \left\{\begin{array}{l} x-y=0, \\ z=0 . \end{array}\right.\right. $$