北京大学真题 第20265题
📝 题目
10、求椭球面 $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}+\frac{z^{2}}{9}=1$ 被点 $(2,1,-1)$ 平分的弦．
【解】设弦所在直线 $L$ 的方向向量为 $(l, m, n)$ ，则 $L$ 可用参数方程表示为
$$
\left\{\begin{array}{l}
x=2+l \lambda, \\
y=1+m \lambda, \\
z=-1+n \lambda,
\end{array} \text { 其中 } \lambda\right. \text { 为参数. }
$$
代入椭球面方程并整理，得到一个关于 $\lambda$ 的二次方程：
$$
\left(\frac{l^{2}}{25}+\frac{m^{2}}{16}+\frac{n^{2}}{9}\right) \lambda^{2}+\left(\frac{4 l}{25}+\frac{2 m}{16}-\frac{2 n}{9}\right) \lambda+\left(\frac{4}{25}+\frac{1}{16}+\frac{1}{9}-1\right)=0
$$
依题意，可知上述方程的两根 $\lambda_{1}$ 和 $\lambda_{2}$ 应满足 $\lambda_{1}+\lambda_{2}=0$ ，故由根与系数的关系得
$$
\frac{2 l}{25}+\frac{m}{16}-\frac{n}{9}=0
$$
因此，凡是过点 $(2,1,-1)$ 且位于平面
$$
\frac{2}{25}(x-2)+\frac{1}{16}(y-1)-\frac{1}{9}(z+1)=0
$$
上的直线都满足题设要求，因而都是所求直线 $L$ 。
💡 答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：设直线参数方程，代入椭球面得关于λ的二次方程，由中点条件λ₁+λ₂=0得方向满足线性方程，即所求弦所在平面。
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