武汉大学真题 第20653题
📝 题目
2．（10 分）设向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性无关，向量组 $\alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 线性相关．证明：$\alpha_{1}$ 不能有 $\alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 线性表示．
💡 答案解析
2．证 $\alpha_{1}$ 不能有 $\alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 线性表示，则可写成 $\alpha_{1}=k_{1} \alpha_{2}+k_{2} \alpha_{3}+k_{3} \alpha_{4}$ ．又由向量组 $\alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 线性相关，显然 $\alpha_{4}$ 可表成 $\alpha_{2}, \alpha_{3}$ 的线性组合，即 $\alpha_{4}=l_{1} \alpha_{2}+l_{2} \alpha_{3}$ ，则有 $\alpha_{1}=\left(k_{1}+l_{1} k_{3}\right) \alpha_{2}+\left(k_{2}+l_{2} k_{3}\right) \alpha_{3}$ ，这与 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性无关矛盾。即有 $\alpha_{1}$ 不能有 $\alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$线性表示。
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：假设α1可由α2,α3,α4线性表示，结合线性相关推出矛盾，证得结论。
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