武汉大学真题 第20654题
📝 题目
3．（12 分）设 $A$ 为 $n$ 阶正交矩阵（即满足 $A A^{T}=E$ ，其中 $E$ 是 $n$ 阶单位矩阵，$A^{T}$ 表
示矩阵 $A$ 的转置），且 $E+A$ 为可逆矩阵证．明：$(E-A)(E+A)^{-1}$ 是反对称矩阵．
💡 答案解析
3．证
$$
\begin{aligned}
{\left[(E-A)(E+A)^{-1}\right]^{T} } & =\left[(E+A)^{-1}-A(E+A)^{-1}\right]^{T} \\
& =\left((E+A)^{-1}\right)^{T}-\left((E+A)^{-1}\right)^{T} A^{T} \\
& =\left(E+A^{T}\right)^{-1}-\left(E+A^{T}\right)^{-1} A^{-1} \\
& =\left((A+E) A^{T}\right)^{-1}-(E+A)^{-1} \\
& =A(E+A)^{-1}-(E+A)^{-1} \\
& =-(E-A)(E+A)^{-1}
\end{aligned}
$$
即 $\left((E-A)(E+A)^{-1}\right)^{T}=-(E-A)(E+A)^{-1}$ ，也即 $(E-A)(E+A)^{-1}$ 是反对称矩阵．
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：直接计算转置，利用正交性和可逆条件化简，证明其等于负的原矩阵。
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