武汉大学真题 第20655题
📝 题目
4．（12 分）设 $A 、 B$ 分别是 $r 、 s$ 阶可逆矩阵，求分块矩阵 $D=\left(\begin{array}{cc}A & C \\ 0 & B\end{array}\right)$ 的逆矩阵．
💡 答案解析
4．解 由 $A 、 B$ 分别是 $r 、 s$ 阶可逆矩阵，则
$$
\begin{aligned}
\left(\begin{array}{ccc}
A & C \\
0 & B
\end{array} \left\lvert\, \begin{array}{cc}
E_{r} & 0 \\
0 & E_{s}
\end{array}\right.\right) & \rightarrow\left(\begin{array}{cc|cc}
A & 0 \\
0 & B
\end{array} \left\lvert\, \begin{array}{cc}
E_{r} & -C B^{-1} \\
0 & E_{s}
\end{array}\right.\right) \\
& \rightarrow\left(\begin{array}{ccc}
E_{r} & 0 & A^{-1} \\
0 & E_{s} & -A^{-1} C B^{-1} \\
0 & B^{-1}
\end{array}\right)
\end{aligned}
$$
即 $D^{-1}=\left(\begin{array}{cc}A^{-1} & -A^{-1} C B^{-1} \\ 0 & B^{-1}\end{array}\right)$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：利用初等行变换（或分块矩阵求逆公式）化左边为单位阵，右边即逆矩阵。
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