武汉大学真题 第20669题
📝 题目
10．（10 分）设 $f$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的对称变换（即 $f$ 是 $V$ 的线性变换，且对任意的 $\alpha, \beta \in V$ 都有 $(f(\alpha), \beta)=(\alpha, f(\beta))$ ），证明：$f$ 的像子空间 $\operatorname{Im} f$ 是 $f$ 的核子空间 $\operatorname{ker} f$
的正交补子空间。
💡 答案解析
10．证 设 $\alpha \in \operatorname{ker} f$ ，则 $f(\alpha)=0$ ，对任意 $\beta \in \operatorname{Im} f$ ，存在 $x \in V$ ，满足 $f(x)=\beta$ ，于是，
$$
(\alpha, \beta)=(\alpha, f(x))=(f(\alpha), x)=(0, x)=0,
$$
即 $\alpha \in \operatorname{Im} f^{\perp}$ ，于是 $\operatorname{ker} f \subseteq \operatorname{Im} f^{\perp}$ 。
另一方面，对任意 $\beta \in V, f(\beta) \in \operatorname{Im} f$ ，若 $\alpha \in \operatorname{Im} f^{\perp}$ ，则 $(f(\beta), \alpha)=0$ ，又 $(f(\beta), \alpha)=(\beta, f(\alpha))=0$ ，由 $\beta$ 的任意性，知 $f(\alpha)=0$ ，即 $\alpha \in \operatorname{ker} f$ ，因此 $\operatorname{Im} f^{\perp} \subseteq \operatorname{ker} f$.
综上， $\operatorname{Im} f^{\perp}=\operatorname{ker} f$ ，即 $f$ 的像子空间 $\operatorname{Im} f$ 是 $f$ 的核子空间 $\operatorname{ker} f$ 的正交补子空间。
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：先证Ker f ⊆ Im f⊥：任取α∈Ker f，β∈Im f，有(α,β)=0；再证Im f⊥ ⊆ Ker f：利用对称性及β任意性得f(α)=0。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。